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物理必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动导学案
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这是一份物理必修 第二册第六章 圆周运动1 圆周运动导学案，共7页。
微专题28 水平面内的圆周运动
1．描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力.2.常见的传动方式：同轴转动(ω相同)、皮带传动、齿轮传动和摩擦传动(边缘v大小相同).3.圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，向心力Fn＝m＝mω2r＝mr.
1.在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验，如图所示，在T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，细绳长度为L.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T，小球半径忽略不计，由此可知( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球运动的线速度大小为v＝
C．小球运动的加速度大小为a＝
D．细绳中的拉力为大小为F＝
答案 D
解析 小球的角速度ω＝，故A错误；小球运动的线速度大小为v＝，故B错误；小球的加速度大小为a＝ω2L＝，故C错误；细绳中的拉力大小为F＝ma＝，故D正确．
2．(2023·河北省石家庄二中模拟)如图所示为“行星减速机”的工作原理图，当中心“太阳齿轮”转动时，三个完全相同的“行星齿轮”绕着“太阳齿轮”公转的同时进行自转，并带动“内齿轮环”转动．已知“太阳齿轮”半径为R1，“行星齿轮”的半径为R2，且R2＝2R1，所有齿轮的齿缝相同，A、B、C分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点．在工作时( )
A．A点与B点的角速度之比为1∶2
B．A点与B点的转速之比为1∶1
C．B点与C点的周期之比为1∶1
D．B点与C点的线速度大小之比1∶1
答案 D
解析 A、B、C分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点，它们通过齿轮传动，线速度大小相等，D正确；A点与B点的角速度与半径成反比，故角速度之比为2∶1，转速与角速度成正比，故A点与B点的转速之比为2∶1，A、B错误；B点与C点的半径之比为2∶5，由T＝可知，B点与C点的周期之比为2∶5，C错误．
3.(多选)如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在圆心正上方20 m的高度处有一个小球以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的角速度可能是π rad/s
答案 AD
解析 根据h＝gt2，可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度一定为v0＝＝2.5 m/s，故A正确，B错误；根据ωt＝2nπ(n＝1,2,3，…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1,2,3，…)，故C错误，D正确．
4.天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．A、B两球的线速度大小之比等于sin α∶sin θ
D．A、B两球的质量之比等于cos θ∶cos α
答案 A
解析 设悬挂点到圆周运动的圆心的高度为h，对小球B由牛顿第二定律有m2gtan θ＝m2ω2htan θ，可知两球角速度相等，两球的周期相等，故A正确；由于向心加速度大小an＝ω2r＝r，由于A、B两球到圆心的距离r不同，可得向心加速度大小不相等，故B错误；由公式v＝ωr，又rA＝htan α，rB＝htan θ，可得A、B两球的线速度大小之比＝＝，故C错误；绳子上的拉力处处相等，则有＝，可得＝，故D错误．
5．如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔(用O表示)，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1 、m2的小球A和B.让两小球同时做圆周运动，B球绕O点做圆锥摆运动，细绳与竖直方向的夹角为θ，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O做匀速圆周运动，两球做圆周运动的角速度相同，OA、OB的绳长相等，两小球均视为质点，则两球的质量之比为( )
A．1∶1 B．1∶sin θ
C．1∶cos θ D．1∶tan θ
答案 A
解析 对A球，细绳的拉力提供向心力，所以有FT＝m1rω2，对B球，细绳的拉力的分力提供向心力，即FTsin θ＝m2rsin θ·ω2，联立解得＝1，故A项正确．
6．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°(sin 37°＝0.6)，则( )
A．A、B两球所受支持力的大小之比为1∶1
B．A、B两球运动的周期之比为2∶
C．A、B两球的角速度大小之比为2∶
D．A、B两球的线速度大小之比为2∶
答案 C
解析 由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得FN＝，则有＝＝，故A错误；小球受到的合力为mgtan θ＝，又因为r＝Rsin θ，解得T＝，则有＝＝，故B错误；角速度为ω＝，则有＝，故C正确；根据mgtan θ＝m，解得v＝＝，则有＝，故D错误．
7．(多选)如图所示，一个上表面粗糙、中心有孔的水平圆盘绕轴MN转动，系有不可伸长细线的木块置于圆盘上，细线另一端穿过中心小孔O系着一个小球．已知木块、小球皆可视为质点，质量皆为m，木块到O点的距离为R，O点与小球之间的细线长为L.当圆盘以角速度为ω匀速转动时，小球以角速度ω随圆盘做圆锥摆运动，木块相对圆盘静止；连接小球的细线与竖直方向的夹角为α，小孔与细线之间无摩擦，则( )
A．如果L不变，ω越大，则α越大
B．如果R＝L，无论ω多大木块都不会滑动
C．如果R>L，ω增大，木块可能向O点滑动
D．如果R
解析 小球做圆锥摆运动，设细线张力为FT，则有FTsin α＝mLsin α·ω2，FTcos α＝mg，联立可得ω＝，如果L不变，ω越大，则α越大，A正确；由小球的运动可知细线张力FT＝mLω2，木块随圆盘匀速转动所需向心力F＝mRω2，当R＝L时，细线张力恰好提供木块做圆周运动的向心力，摩擦力为零，所以无论ω多大木块都不会滑动，B正确；如果R>L，木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O点的摩擦力Ff，当ω增大，摩擦力Ff也增大，达到最大静摩擦力后木块会向远离O点的方向滑动，C错误；同理，如果R
A．b、c所受的摩擦力大小始终相等
B．当a、b和c均未滑动时，a、c所受摩擦力的大小相等
C．b和c均未滑动时线速度一定相等
D．b开始滑动时的角速度大小是
答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动．b、c质量不相等，由Ff＝mrω2知b、c所受摩擦力大小不相等，A错误；当a、b和c均未滑动时，a、b、c和圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，a、b的质量均为m0，c的质量为，a与转轴OO′的距离为l，c与转轴OO′的距离为2l，Ff＝mrω2，所以a、c所受摩擦力的大小相等，B正确；b和c均未滑动时，由v＝rω知线速度大小相等，方向不相同，C错误；b开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则km0g＝m0·2lω2，解得ω＝，D错误．
9.如图所示，用两根长分别为l1、l2的细线拴一小球a，细线另一端分别系在一竖直杆上O1、O2处，当竖直杆以某一范围的角速度ω(ω1≤ω≤ω2)转动时，小球a保持在图示虚线的轨迹上做圆周运动，此时两根线均被拉直，圆周半径为r，已知l1∶l2∶r＝20∶15∶12，则ω1∶ω2等于( )
A．3∶4 B．3∶5
C．4∶5 D．1∶2
答案 A
解析 设l1、l2与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，将细线拉力沿竖直方向和水平方向分解，竖直方向的分力大小等于重力，水平方向的分力提供向心力，细线l2没有弹力时，则有F向1＝mgtan θ1＝mω12r，细线l1没有弹力时，则有F向2＝mgtan θ2＝mω22r，由几何关系可得r＝l1sin θ1＝l2sin θ2，又l1∶l2∶r＝20∶15∶12，联立解得ω1∶ω2＝3∶4，B、C、D错误，A正确．
10.(多选)如图所示为一圆锥状转筒，左右各系着一长一短的绳子，绳上挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面．转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．角速度慢慢增大，一定是绳子长的那个球先离开转筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开转筒
C．两个球都离开转筒后，它们一定高度相同
D．两个球都离开转筒时两段绳子的拉力一定相同
答案 AC
解析 设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开转筒时，转筒的支持力为0，则有mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝，则绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开转筒，所以A正确，B错误；两个球都离开转筒后，小球都只受重力与绳子的拉力的作用，两小球都随转筒一起转动，有相同的角速度，又因小球的高度为h＝lcos θ，所以它们高度相同，所以C正确；小球都离开转筒时绳子的拉力大小为FT＝，由于不是同时离开转筒，则小球都离开转筒时的夹角不同，所以拉力也不相同，所以D错误．
11.(多选)如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力有可能为2μmg
B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度有可能恰好等于
D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，A将最先发生相对滑动
答案 AC
解析 对A、B整体，有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，对物体C，有mω2(1.5r)≤μmg，对物体A，有3mω2r≤3μmg，联立解得ω≤，即要满足不发生相对滑动，转台的角速度ω的最大值为ωm＝，A与B间的静摩擦力最大值Ff＝3mωm2r＝2μmg，故A、C正确；A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，A所受摩擦力FfA＝3mω2r，C所受摩擦力FfC＝mω2(1.5r)＝1.5mω2r，则C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误；据以上分析知，最先发生相对滑动的是C，故D错误．
微专题28 水平面内的圆周运动
1．描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力.2.常见的传动方式：同轴转动(ω相同)、皮带传动、齿轮传动和摩擦传动(边缘v大小相同).3.圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，向心力Fn＝m＝mω2r＝mr.
1.在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验，如图所示，在T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，细绳长度为L.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T，小球半径忽略不计，由此可知( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球运动的线速度大小为v＝
C．小球运动的加速度大小为a＝
D．细绳中的拉力为大小为F＝
答案 D
解析 小球的角速度ω＝，故A错误；小球运动的线速度大小为v＝，故B错误；小球的加速度大小为a＝ω2L＝，故C错误；细绳中的拉力大小为F＝ma＝，故D正确．
2．(2023·河北省石家庄二中模拟)如图所示为“行星减速机”的工作原理图，当中心“太阳齿轮”转动时，三个完全相同的“行星齿轮”绕着“太阳齿轮”公转的同时进行自转，并带动“内齿轮环”转动．已知“太阳齿轮”半径为R1，“行星齿轮”的半径为R2，且R2＝2R1，所有齿轮的齿缝相同，A、B、C分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点．在工作时( )
A．A点与B点的角速度之比为1∶2
B．A点与B点的转速之比为1∶1
C．B点与C点的周期之比为1∶1
D．B点与C点的线速度大小之比1∶1
答案 D
解析 A、B、C分别是“太阳齿轮”、“行星齿轮”和“内齿轮环”边缘上的点，它们通过齿轮传动，线速度大小相等，D正确；A点与B点的角速度与半径成反比，故角速度之比为2∶1，转速与角速度成正比，故A点与B点的转速之比为2∶1，A、B错误；B点与C点的半径之比为2∶5，由T＝可知，B点与C点的周期之比为2∶5，C错误．
3.(多选)如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在圆心正上方20 m的高度处有一个小球以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的角速度可能是π rad/s
答案 AD
解析 根据h＝gt2，可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度一定为v0＝＝2.5 m/s，故A正确，B错误；根据ωt＝2nπ(n＝1,2,3，…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1,2,3，…)，故C错误，D正确．
4.天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．A、B两球的线速度大小之比等于sin α∶sin θ
D．A、B两球的质量之比等于cos θ∶cos α
答案 A
解析 设悬挂点到圆周运动的圆心的高度为h，对小球B由牛顿第二定律有m2gtan θ＝m2ω2htan θ，可知两球角速度相等，两球的周期相等，故A正确；由于向心加速度大小an＝ω2r＝r，由于A、B两球到圆心的距离r不同，可得向心加速度大小不相等，故B错误；由公式v＝ωr，又rA＝htan α，rB＝htan θ，可得A、B两球的线速度大小之比＝＝，故C错误；绳子上的拉力处处相等，则有＝，可得＝，故D错误．
5．如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔(用O表示)，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1 、m2的小球A和B.让两小球同时做圆周运动，B球绕O点做圆锥摆运动，细绳与竖直方向的夹角为θ，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O做匀速圆周运动，两球做圆周运动的角速度相同，OA、OB的绳长相等，两小球均视为质点，则两球的质量之比为( )
A．1∶1 B．1∶sin θ
C．1∶cos θ D．1∶tan θ
答案 A
解析 对A球，细绳的拉力提供向心力，所以有FT＝m1rω2，对B球，细绳的拉力的分力提供向心力，即FTsin θ＝m2rsin θ·ω2，联立解得＝1，故A项正确．
6．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°(sin 37°＝0.6)，则( )
A．A、B两球所受支持力的大小之比为1∶1
B．A、B两球运动的周期之比为2∶
C．A、B两球的角速度大小之比为2∶
D．A、B两球的线速度大小之比为2∶
答案 C
解析 由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得FN＝，则有＝＝，故A错误；小球受到的合力为mgtan θ＝，又因为r＝Rsin θ，解得T＝，则有＝＝，故B错误；角速度为ω＝，则有＝，故C正确；根据mgtan θ＝m，解得v＝＝，则有＝，故D错误．
7．(多选)如图所示，一个上表面粗糙、中心有孔的水平圆盘绕轴MN转动，系有不可伸长细线的木块置于圆盘上，细线另一端穿过中心小孔O系着一个小球．已知木块、小球皆可视为质点，质量皆为m，木块到O点的距离为R，O点与小球之间的细线长为L.当圆盘以角速度为ω匀速转动时，小球以角速度ω随圆盘做圆锥摆运动，木块相对圆盘静止；连接小球的细线与竖直方向的夹角为α，小孔与细线之间无摩擦，则( )
A．如果L不变，ω越大，则α越大
B．如果R＝L，无论ω多大木块都不会滑动
C．如果R>L，ω增大，木块可能向O点滑动
D．如果R
解析 小球做圆锥摆运动，设细线张力为FT，则有FTsin α＝mLsin α·ω2，FTcos α＝mg，联立可得ω＝，如果L不变，ω越大，则α越大，A正确；由小球的运动可知细线张力FT＝mLω2，木块随圆盘匀速转动所需向心力F＝mRω2，当R＝L时，细线张力恰好提供木块做圆周运动的向心力，摩擦力为零，所以无论ω多大木块都不会滑动，B正确；如果R>L，木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O点的摩擦力Ff，当ω增大，摩擦力Ff也增大，达到最大静摩擦力后木块会向远离O点的方向滑动，C错误；同理，如果R
A．b、c所受的摩擦力大小始终相等
B．当a、b和c均未滑动时，a、c所受摩擦力的大小相等
C．b和c均未滑动时线速度一定相等
D．b开始滑动时的角速度大小是
答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动．b、c质量不相等，由Ff＝mrω2知b、c所受摩擦力大小不相等，A错误；当a、b和c均未滑动时，a、b、c和圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，a、b的质量均为m0，c的质量为，a与转轴OO′的距离为l，c与转轴OO′的距离为2l，Ff＝mrω2，所以a、c所受摩擦力的大小相等，B正确；b和c均未滑动时，由v＝rω知线速度大小相等，方向不相同，C错误；b开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则km0g＝m0·2lω2，解得ω＝，D错误．
9.如图所示，用两根长分别为l1、l2的细线拴一小球a，细线另一端分别系在一竖直杆上O1、O2处，当竖直杆以某一范围的角速度ω(ω1≤ω≤ω2)转动时，小球a保持在图示虚线的轨迹上做圆周运动，此时两根线均被拉直，圆周半径为r，已知l1∶l2∶r＝20∶15∶12，则ω1∶ω2等于( )
A．3∶4 B．3∶5
C．4∶5 D．1∶2
答案 A
解析 设l1、l2与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，将细线拉力沿竖直方向和水平方向分解，竖直方向的分力大小等于重力，水平方向的分力提供向心力，细线l2没有弹力时，则有F向1＝mgtan θ1＝mω12r，细线l1没有弹力时，则有F向2＝mgtan θ2＝mω22r，由几何关系可得r＝l1sin θ1＝l2sin θ2，又l1∶l2∶r＝20∶15∶12，联立解得ω1∶ω2＝3∶4，B、C、D错误，A正确．
10.(多选)如图所示为一圆锥状转筒，左右各系着一长一短的绳子，绳上挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面．转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．角速度慢慢增大，一定是绳子长的那个球先离开转筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开转筒
C．两个球都离开转筒后，它们一定高度相同
D．两个球都离开转筒时两段绳子的拉力一定相同
答案 AC
解析 设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开转筒时，转筒的支持力为0，则有mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝，则绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开转筒，所以A正确，B错误；两个球都离开转筒后，小球都只受重力与绳子的拉力的作用，两小球都随转筒一起转动，有相同的角速度，又因小球的高度为h＝lcos θ，所以它们高度相同，所以C正确；小球都离开转筒时绳子的拉力大小为FT＝，由于不是同时离开转筒，则小球都离开转筒时的夹角不同，所以拉力也不相同，所以D错误．
11.(多选)如图所示，放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力有可能为2μmg
B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度有可能恰好等于
D．若角速度在题干所述基础上缓慢增大，A将最先发生相对滑动
答案 AC
解析 对A、B整体，有(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，对物体C，有mω2(1.5r)≤μmg，对物体A，有3mω2r≤3μmg，联立解得ω≤，即要满足不发生相对滑动，转台的角速度ω的最大值为ωm＝，A与B间的静摩擦力最大值Ff＝3mωm2r＝2μmg，故A、C正确；A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，A所受摩擦力FfA＝3mω2r，C所受摩擦力FfC＝mω2(1.5r)＝1.5mω2r，则C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误；据以上分析知，最先发生相对滑动的是C，故D错误．
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