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浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共24页。
浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
3．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
四．菱形的性质（共1小题）
6．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
五．四边形综合题（共1小题）
7．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
9．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022•嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】（1）3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；
（3）5．
【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）m的值为4；
（3）n的取值范围是n＞3．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
答：抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线L1：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
3．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）m＝4；
（3）n＞3．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【答案】（1）t＝；
（2）t的值为；
（3）3＜m＜4或m＞6．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【答案】（1）赞同，理由见解析；
（2）①45°；②点N是线段ME的“趣点”，理由见解析．
【解答】解：（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cos45°＝，
∵AC＝AP，
∴，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴，
∵AC＝AP，
∴，
∵，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴＝，
∴点N是线段ME的“趣点”．
四．菱形的性质（共1小题）
6．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE与△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°．
五．四边形综合题（共1小题）
7．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]BC＝．
[探究2]D'M＝DM．证明过程见解析；
[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．证明过程见解析．
【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D'在一条线上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴BC＝．
[探究2]D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DBA（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．
证明：如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN•DN，
∴MN2＝PN•DN．
六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
【答案】（1）作图见解析；
（2）线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明见解析．
【解答】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；
（2）：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE•sin∠E＝，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH＝PF，
又∵PD＝AD，PM＝AM，
∴MD＝PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，
∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
9．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
【答案】（1）线段AC与FH垂直，见解析；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠D＝∠B＝90°，∠DCA＝∠BCA＝45°，
在Rt△DCF和Rt△BCH中
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCH（HL），
∴∠DCF＝∠BCH，
∴∠FCA＝∠HCA，
又∵CF＝CH，
∴AC⊥FH；
（2）证明：∵∠DAB＝90°，
∴FH为圆的直径，
∴∠FPH＝90°，
又∵CF＝CH，AC⊥FH，
∴点E为FH的中点，
∴∠CFD＝∠KHA，
又∵Rt△DCF≌Rt△BCH，
∴∠CFD＝∠CHB，
∴∠KHA＝∠CHB，
过点K作KM⊥AH，交AH于点M，
∴∠KMH＝∠B＝90°，
∴△KMH∽△CBH，KM∥BC，
∴，，
∴．
（3）∵K为AC中点，
∴，
设MH＝a，则BH＝2a，KM＝AM＝3a，
∴AB＝CB＝6a，AH＝4a，
在Rt△BCH中，CH＝CF＝，
在Rt△AFH中，FH＝，
∴EH＝2a，
∵∠FPH+∠FAH＝180°，
∴∠FPH＝∠CEH＝90°，
又∵∠CHE＝∠PFH，
∴△FPH∽△HEC，
∴，
∴PF＝，
∴CP＝CF﹣PF＝，
∴＝．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022•嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】（1）3.4cm；
（2）22.2cm．
【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
∴DG＝≈≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被识别；
（2）踮起脚尖小若能被识别．
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴EF＝DE＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
3．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
四．菱形的性质（共1小题）
6．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
五．四边形综合题（共1小题）
7．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
9．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022•嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
浙江省嘉兴市、舟山市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+25 ；
……
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】（1）3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由见解答过程；
（3）5．
【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）m的值为4；
（3）n的取值范围是n＞3．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
答：抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线L1：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
3．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）m＝4；
（3）n＞3．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
4．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【答案】（1）t＝；
（2）t的值为；
（3）3＜m＜4或m＞6．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．
（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．
（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．
①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．
②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．
【答案】（1）赞同，理由见解析；
（2）①45°；②点N是线段ME的“趣点”，理由见解析．
【解答】解：（1）赞同，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
∴cos45°＝，
∵AC＝AP，
∴，
∴点P为线段AB的“趣点”．
（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，
∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，
∴＝67.5°，
∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
∵△DPE∽△CPB，D，A重合，
∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，
∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；
②点N是线段ME的趣点，理由如下：
当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），
∴，
∵AC＝AP，
∴，
∵，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴∠APD＝45°，DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，
∴DM＝PM，
∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴MD＝MC，
同理可得MC＝MN，
∴MP＝MD＝MC＝MN，
∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，
∴＝，
∴点N是线段ME的“趣点”．
四．菱形的性质（共1小题）
6．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE与△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°．
五．四边形综合题（共1小题）
7．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]BC＝．
[探究2]D'M＝DM．证明过程见解析；
[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．证明过程见解析．
【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D'在一条线上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
∴BC＝．
[探究2]D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DBA（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．
证明：如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴AN2＝PN•DN，
∴MN2＝PN•DN．
六．圆的综合题（共2小题）
8．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
【答案】（1）作图见解析；
（2）线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明见解析．
【解答】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；
（2）：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE•sin∠E＝，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH＝PF，
又∵PD＝AD，PM＝AM，
∴MD＝PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，
∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
9．（2022•舟山）如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF＝CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：＝．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
【答案】（1）线段AC与FH垂直，见解析；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠D＝∠B＝90°，∠DCA＝∠BCA＝45°，
在Rt△DCF和Rt△BCH中
，
∴Rt△DCF≌Rt△BCH（HL），
∴∠DCF＝∠BCH，
∴∠FCA＝∠HCA，
又∵CF＝CH，
∴AC⊥FH；
（2）证明：∵∠DAB＝90°，
∴FH为圆的直径，
∴∠FPH＝90°，
又∵CF＝CH，AC⊥FH，
∴点E为FH的中点，
∴∠CFD＝∠KHA，
又∵Rt△DCF≌Rt△BCH，
∴∠CFD＝∠CHB，
∴∠KHA＝∠CHB，
过点K作KM⊥AH，交AH于点M，
∴∠KMH＝∠B＝90°，
∴△KMH∽△CBH，KM∥BC，
∴，，
∴．
（3）∵K为AC中点，
∴，
设MH＝a，则BH＝2a，KM＝AM＝3a，
∴AB＝CB＝6a，AH＝4a，
在Rt△BCH中，CH＝CF＝，
在Rt△AFH中，FH＝，
∴EH＝2a，
∵∠FPH+∠FAH＝180°，
∴∠FPH＝∠CEH＝90°，
又∵∠CHE＝∠PFH，
∴△FPH∽△HEC，
∴，
∴PF＝，
∴CP＝CF﹣PF＝，
∴＝．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022•嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A，B之间的距离．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】（1）3.4cm；
（2）22.2cm．
【解答】解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．
∴∠DCF＝20°，
∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），
∴DE＝2DF≈3.4cm，
∴线段DE的长约为3.4cm；
（2）∵横截面是一个轴对称图形，
∴延长CF交AD、BE延长线于点G，
连接AB，
∴DE∥AB，
∴∠A＝∠GDE，
∵AD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠GDF+∠FDC＝90°，
∵∠DCF+∠FDC＝90°，
∴∠GDF＝∠DCF＝20°，
∴∠A＝20°，
∴DG＝≈≈1.8（cm），
∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），
∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．
∴点A，B之间的距离22.2cm．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被识别；
（2）踮起脚尖小若能被识别．
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴EF＝DE＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
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