2023新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式教师用书新人教A版必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

观察下表中的数据：

从中你能发现cos(α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？

知识点　两角差的余弦公式

公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．

(1)简记符号：C(α－β)．

(2)适用条件：公式中的角α，β是任意角．

(1)公式可简记为：余余正正、符号反．

(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，公式右端展开式为角α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)∃α，β∈R，cos(α－β)＝cos α－cos β成立． (　　)

(2)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√

2．cos 20°＝(　　)

A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°

B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°

C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°

D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°

B　[cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B．]

3．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________．

0　[原式＝cos(30°－120°)＝cos(－90°)＝0．]

类型1　给角求值问题

【例1】　求下列各式的值：

(1)cos(－375°)；

(2)cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α；

(3)cos 15°＋sin 15°．

[解]　(1)cos(－375°)＝cos 375°＝cos 15°

＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°

＝×＋×＝．

(2)cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α

＝cos[(α＋45°)－α]＝cos 45°＝．

(3)cos 15°＋sin 15°

＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°

＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝．

利用两角差的余弦公式求值的一般思路

(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．

(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．

[跟进训练]

1．求值：(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；

(2)cos(θ＋70°)cos(θ＋10°)＋sin(θ＋70°)sin(θ＋10°)．

[解]　(1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°

＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)

＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°

＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝．

(2)cos(θ＋70°)cos(θ＋10°)＋sin(θ＋70°)sin(θ＋10°)＝cos[(θ＋70°)－(θ＋10°)]＝cos 60°＝．

类型2　给值求值问题

【例2】　(对接教材P216例题)(1)已知sin α＝，α是第二象限角，cos β＝，β是第四象限角，求cos(α－β)的值；

(2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．

(1)同角三角函数存在哪些关系？要求cos(α－β)的值，需要求哪些三角函数值？

(2)能否将β表示成α与α＋β的线性组合？如何借助两角差的余弦公式求cos β的值？

[解]　(1)∵sin α＝，α是第二象限的角，

∴cos α＝－＝－．

又cos β＝，β是第四象限的角，

∴sin β＝－＝－．

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝－×＋×＝－＝－1．

(2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝．

由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝．

于是cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝．

给值求值问题的解题策略

(1)求解此类问题先要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要进行拆角或凑角的变换．

(2)常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．

[跟进训练]

2．已知sin＝，α∈，求cos α的值．

[解]　∵α∈，∴＋α∈，

∴cos＝－

＝－＝－．

∵α＝－，

∴cos α＝cos

＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝．

类型3　给值求角问题

【例3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．

[解]　因为sin(π－α)＝，

所以sin α＝．因为0＜α＜，

所以cos α＝＝．

因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，

所以0＜α－β＜，

所以sin(α－β)＝＝，

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝．

因为0＜β＜，所以β＝．

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围．

(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．

(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角．

[跟进训练]

3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．

[解]　∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，

∴sin α＝，sin β＝，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝．

又sin α<sin β，

∴0<α<β<，∴－<α－β<0，

故α－β＝－．

1．cos(－15°)的值是(　　)

A． B．

C． D．

D　[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝．故选D．]

2．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　)

A． B．

C． D．

B　[sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝．故选B．]

3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)

A．－　　B．－　　C．　　D．

A　[∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，

∵β为第三象限角，sin β＝－，

∴cos β＝－＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．故选A．]

4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________．

　[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]

＝cos(－60°)＝cos 60°＝．]

5．已知cos＝cos α，则tan α＝________．

　[cos＝cos αcos ＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．公式C(α－β)的结构有何特点？

[提示]　公式的左边是差角的余弦，右边是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正，号相反”记忆公式．

2．公式C(α－β)中角α，β的适用条件是什么？

[提示]　公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．

3．通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？

[提示]　公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面．

①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin  αsin  β．

②角的变用，也称为角的变换，如

cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．