2023新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象教师用书新人教A版必修第一册

5.4.3　正切函数的性质与图象

知识点　正切函数的图象与性质

正切函数在整个定义域上是单调递增的吗？

[提示]　不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R． (　　)

(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)

(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．

　　[由2x≠＋kπ可知x≠＋，k∈Z，T＝．]

类型1　正切函数的奇偶性与周期性

【例1】　(1)函数f (x)＝tan的最小正周期为(　　)

A．　　　B．　　　C．π　　　D．2π

(2)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

(1)A　(2)A　[(1)T＝＝，故选A．

(2)由题意可知，自变量x的取值范围为．

又f (－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，

∴f (x)为奇函数，故选A．]

1．函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法

(1)定义法．

(2)公式法：对于函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝．

(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．

2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法

先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f (x)的关系．

[跟进训练]

1．(1)函数f (x)＝(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

(2)若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________．

(1)A　(2)±2　[(1)由题意可知，

∴x≠＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z．

又f (－x)＝＝＝－f (x)，

∴f (x)为奇函数，故选A．

(2)由＝可知ω＝±2．]

类型2　正切函数的单调性

【例2】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．

(2)求函数y＝3tan的单调区间．

(1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？

(2)求y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？

(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[y＝tan x在区间上单调递增，且tan 1＝tan(π＋1)，

又＜2＜3＜4＜π＋1＜，

所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1．]

(2)[解]　y＝3tan＝－3tan，

由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，

－＋＜x＜＋，k∈Z，

所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z．

1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．

[跟进训练]

2．(1)求函数y＝tan的单调递增区间．

(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．

①tan 220°与tan 200°；②tan π与tan．

[解]　(1)由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z得

kπ－<x<kπ＋，k∈Z，

所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z．

(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，

因为y＝tan x在上单调递增，

所以tan 220°>tan 200°．

②tan π＝tan(π＋)＝tan ，

tan＝tan＝tan ，

因为－<<<，

y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan ，

即tan π>tan．

类型3　正切函数图象与性质的综合应用

【例3】　(对接教材P212例题)设函数f (x)＝tan．

(1)求函数f (x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f (x)≤的解集．

[解]　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)，

所以f (x)的定义域是．

因为ω＝，

所以最小正周期T＝＝＝2π．

由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．

所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．

由－＝(k∈Z)，

得x＝kπ＋(k∈Z)，

故函数f (x)的对称中心是(k∈Z)．

(2)由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，

解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f (x)≤的解集是．

解形如tan x＞a的不等式的步骤

[跟进训练]

3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．

[解]　由y＝|tan x|得

y＝

其图象如图：

由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．

函数y＝|tan x|的周期T＝π，

函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z．

1．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　)

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数

D　[f (－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝．故选D．]

2．若tan x≥1，则(　　)

A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)

B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)

C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)

D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)

D　[因为tan x≥1＝tan．

所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．故选D．]

3．比较大小：tan ________tan ．

<　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在内单调递增，

所以tan <tan ，即tan <tan ．]

4．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．

(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan x在上为减函数，

所以值域为(－，1)．]

5．已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．

，k∈Z　[由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？

[提示]