2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念教师用书新人教A版必修第一册

3.2.2　奇偶性

第1课时　奇偶性的概念

填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．

知识点　函数的奇偶性

具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？

[提示]　定义域关于原点对称．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　　)

(2)对于函数y＝f (x)，若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数．              (　　)

(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　)

(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)

A．－1　　　　　 B．0

C．1 D．无法确定

C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]

类型1　函数奇偶性的判断

【例1】　(对接教材P84例题)判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x)＝x3＋x；

(2)f (x)＝＋；

(3)f (x)＝；

(4)f (x)＝

[解]　(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R．

且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，

因此函数f (x)是奇函数．

(2)由得x2＝1，即x＝±1．

因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数．

(3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因为∀x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，

－x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．

(4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}．

f (－x)＝

即f (－x)＝

于是有f (－x)＝－f (x)．

所以f (x)为奇函数．

判断函数奇偶性的2种方法

(1)定义法：

(2)图象法：

[跟进训练]

1．判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x)＝x6＋1；(2)f (x)＝|x＋1|＋|x－1|；

(3)f (x)＝；(4)f (x)＝

[解]　(1)函数f (x)＝x6＋1的定义域为R，

因为∀x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝(－x)6＋1＝x6＋1＝f (x)，

所以函数f (x)＝x6＋1为偶函数．

(2)f (x)的定义域是R．因为∀x∈R，都有－x∈R，

且f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)，

所以f (x)是偶函数．

(3)f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，因为∀x∈[－1，0)∪(0，1]，都有－x∈[－1，0)∪(0，1]，且

f (－x)＝＝－＝－f (x)，

所以函数f (x)＝为奇函数．

(4)f (x)的定义域为R，

当x<0时，－x>0，f (－x)＝(－x)3＝－x3，而f (x)＝x2，所以当x<0时不满足f (－x)＝f (x)，也不满足f (－x)＝－f (x)．故此函数是非奇非偶函数．

类型2　奇偶函数的图象问题

【例2】　已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．

(1)画出在区间[－5，0]上的图象；

(2)写出使f (x)<0的x的取值集合．

[解]　(1)因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．

由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．

(2)由图象知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．

巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．

[跟进训练]

2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；

(2)根据图象写出函数y＝f (x)的增区间；

(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．

[解]　(1)由题意作出函数图象如图：

(2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．

(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．

类型3　利用函数的奇偶性求值

【例3】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；

(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．

(1)从偶函数的图象特征思考如何求解参数a，b的值？

(2)函数g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx是奇函数还是偶函数，能否借助g(x)的奇偶性对该问题作出解答？

(1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝．

又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．

(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，

所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f (－3)＝－3，

所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7．]

利用奇偶性求值的常见类型

(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数利用特定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．

(2)求函数值：利用f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．

[跟进训练]

3．若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．

4　[法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．

法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．

法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数，

∴4－a＝0，∴a＝4．]

1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于(　　)

A．－1　　　B．1　　　C．0　　　D．2

A　[由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1．故选A．]

2．下列函数是偶函数的是(　　)

A．y＝x B．y＝2x2－3

C．y＝ D．y＝x2，x∈[0，1]

B　[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B．]

3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．故选B．]

4．若f (x)为R上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________．

3　[由题意可知f (－2)＝f (2)＝3．]

5．已知函数f (x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______．

0　[∵f (x)为奇函数，

∴f (－x)＋f (x)＝0，

∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，

所以a＝0．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？

[提示]　(1)定义域特点：关于原点对称；

(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；

(3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0．

2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？

[提示]　定义法和图象法．