2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定教师用书新人教A版必修第一册

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

知识点　含有一个量词的命题的否定

对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定，要先改变量词，再否定结论．

对省略量词的命题怎样否定？

[提示]　一般地，对于省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．

1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]

2．已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则﹁p为________．

[答案]　∃x>0，使得x＋1≤1．

类型1　全称量词命题的否定

【例1】　(对接教材P29例题)写出下列命题的否定．

(1)所有分数都是有理数；

(2)所有被5整除的整数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0．

[解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．

(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．

(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0．

对全称量词命题否定的两个步骤

[跟进训练]

1．写出下列全称量词命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)任何一个圆都是轴对称图形；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．

[解]　(1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)命题的否定：存在一个圆不是轴对称图形．

(3)命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

类型2　存在量词命题的否定

【例2】　(对接教材P30例题)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有的素数是偶数；

(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0．

[解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．

由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0．

∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，

∴命题的否定是假命题．

对存在量词命题否定的两个步骤

[跟进训练]

2． 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．

(1)p：存在x∈R，2x＋1≥0；

(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；

(3)r：有些分数不是有理数．

[解]　(1)任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．

(2)任意x∈R，x2－x＋≥0．

因为x2－x＋＝≥0，所以是真命题．

(3)一切分数都是有理数，是真命题．

类型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用

【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．

以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考探求建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．

[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，

则y＝(x＋2)2－5，

因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，

所以只要m<－5即可．

所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．

求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1) 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值．(或a＜y最小值)

(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值．(或a＜y最大值)

[跟进训练]

3．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

{a|a≤4}　[∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，

∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，

∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4．]

1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)

A．∀x∉R，x2≠x　 B．∀x∈R，x2＝x

C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x

D　[此全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＝x．故选D．]

2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　 )

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．

“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C．]

3．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

D　[因为p为假命题，所以﹁p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D．]

4．量词“至多有一个”的否定为________．

[答案]　至少有两个

5．命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．

真　[x2＝5得x＝±∉Q，∴当x∈Q，x2＝5的否定是真命题．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？

[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？

[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题： ∃x∈M，﹁p(x)．

3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？

[提示]　假命题．