2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件教师用书新人教A版必修第一册

1.4.2　充要条件

知识点　充要条件

(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；

②充分不必要条件，即p⇒q且qp．

③必要不充分条件，即pq且q⇒p．

④既不充分也不必要条件，即pq且qp．

“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．

(1) “x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．

(2) “x<5”是“x<3”的________．

(1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B， 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．]

类型1　充分、必要、充要条件的判断

【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．

(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；

(3)p：a＞b；q：ac＞bc．

[解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．

(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，

故p是q的既不充分也不必要条件．

判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．

(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．

[跟进训练]

1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．

(1)p：x>－1，q：x>0；

(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；

(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；

(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．

[解]　(1)p：x＞－1，q：x>0，

故p是q的必要不充分条件．

(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，

故p是q的充分不必要条件．

(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，

q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，

故p是q的必要不充分条件．

(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，

∴p是q的充要条件．

类型2　充要条件的证明

【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．

②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

提醒：证明时务必要分清充分性与必要性的证明方向．

[跟进训练]

2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．

[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0．

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，

即a＋b＋c＝0．

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．

类型3　充要条件的应用

【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

联想必要不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系．

[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或解得m≤3．

又m>0，

所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．

应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：

(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．

(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．

1．“x>0”是“x≠0”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．故选A．]

2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．]

3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．a≥3　　　　　　 B．a≤－1

C．－1≤a≤3 D．a≤3

B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．故选B．]

4．函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．

m＝－2　[函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f (x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]

5．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________．

[答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？

[提示]　

2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？

[提示]　需要证明充分性和必要性两个方面．