2023新教材高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质

知识点　二项式系数的性质

(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C．

(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数C随k的增加而增大．由对称性知当k>时，C随k的增加而减小，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

①C＋C＋C＋…＋C＝2n；

②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C． (　　)

(2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)

A．11 B．10

C．9 D．8

D　[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，

∴n＝8．]

3．(2－x)10的展开式中的各项系数和为________．

1　[令x＝1即得各项系数和，

∴各项系数和为1．]

类型1　求展开式的系数和

【例1】　设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022(x∈R)．

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 022的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|的值．

[解]　(1)令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(－1)2 022＝1． ①

(2)令x＝－1，得

a0－a1＋a2－…－a2 021＋a2 022＝32 022． ②

①－②得

2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝1－32 022，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝．

(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，

∴a2k－1＜0(k∈N*)，

a2k＞0(k∈N)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 022|

＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022．

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．

[跟进训练]

1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值．

[解]　令x＝1，则

a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①

令x＝－1，则

a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37 ． ②

(1)∵a0＝C＝1，

∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2．

(2)由(①－②)÷2，得

a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094．

(3)由(①＋②)÷2，得

a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093．

(4)法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)

＝1 093＋1 094＝2 187．

法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187．

类型2　二项式系数性质的应用

【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

[思路点拨]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．

[解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又∵展开式中各项的二项式系数之和为2n．由题意，知4n－2n＝992．

∴(2n)2－2n－992＝0，

∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，

∴n＝5．

(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是

T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，

T4＝C(x)2(3x2)3＝270x．

(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x．

假设Tr＋1项系数最大，

则有

∴

∴

∴≤r≤，

∵r∈N*，∴r＝4．

∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x．

1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．

3．求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r，即得系数的最大项．

[跟进训练]

2．已知的展开式中前3项的系数为等差数列．

(1)求展开式中含x2的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

[解]　(1)∵已知的展开式中前3项的系数为等差数列，

而的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C··xn－2r，

故 T1＝Cxn＝xn，T2＝C··xn－2＝·xn－2，

T3＝C··xn－4＝·xn－4，

∴2×＝1＋，解得n＝8 或n＝1(舍去)．

∴n＝8，Tr＋1＝C··x8－2r，

令8－2r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2的项为C··x2＝7x2．

(2)设第r＋1项系数最大，Tr＋1＝C··x8－2r，

则，求得r＝2 或r＝3，

故展开式中系数最大的项为C··x4＝7x4，或C··x2＝7x2．

即展开式中系数最大的项为7x4 或7x2．

类型3　利用二项式定理证明整除问题或求余数

【例3】　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；

(2)求C＋C＋…＋C除以9的余数．

[解]　(1)证明：1110－1＝(10＋1)10－1

＝C1010＋C109＋C·108＋…＋C102＋C10＋C－1

＝C1010＋C109＋…＋C102＋102

＝100(108＋C107＋…＋C＋1)，

显然上式括号内的数是整数，所以1110－1能被100整除．

(2)C＋C＋…＋C＝227－C＝89－1

＝(9－1)9－1

＝C99－C98＋…＋C9－C－1

＝9(C98－C97＋…＋C)－2

＝9(C98－C97＋…＋C－1)＋7，

显然上式括号内的数是整数，故C＋C＋…＋C除以9的余数为7．

1．利用二项式定理解决整除问题的基本思路

要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理．

2．利用二项式定理求余数的注意点

求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数．利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化．

[跟进训练]

3．(1)用二项式定理证明：32n＋3－24n＋37能被64整除；

(2)求9192除以100的余数．

[解]　(1)证明：32n＋3－24n＋37

＝3×9n＋1－24n＋37

＝3(8＋1)n＋1－24n＋37

＝3(C8n＋1＋C8n＋…＋C8＋1)－24n＋37

＝3×64(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋24C－24n＋40

＝64×3(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋64，

显然上式是64的倍数，故原式能被64整除．

(2)法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…－C·100·991＋C992，显然展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数．

992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81，

故9192除以100的余数为81．

法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，

前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81．

1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)

A．8 B．9

C．10 D．11

C　[由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10．]

2．在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

C　[在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，∴n＝6．]

3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．

5　[二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5．]

4．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为________．

9　[由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，

即2n＋1＝1 024，故n＝9．]

5．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是________．

－252a5b5　[在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，故系数最小项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．怎样确定二项式系数的最大值？

[提示]　n为偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；n为奇数时，展开式中间两项的二项式系数，最大．

2．在项的系数均为正的前提下怎样求项的系数的最大值？

[提示]　设第k＋1项的系数最大，

则