13.初中数学.圆的概念.第13讲

模块一 与圆有关概念

【例1】         判断题

（1）直径是弦                (    )

（2）弦是直径                (    )

（3）半圆是弧                (    )

（4）弧是半圆                (    )

（5）长度相等的两条弧是等弧         　　(    )

（6）等弧的长度相等           　　(    )

（7）两个劣弧之和等于半圆             (    )

（8）半径相等的两个圆是等圆        　　 (    )

（9）两个半圆是等弧           　　(    )

（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于且不大于      (    )

【难度】1星

【解析】这些概念容易混，希望学生能够很好地掌握哦！

【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√

【巩固】在同圆或等圆中，如果，则和的关系是（   ）

       A．　　　B．　　　　C．　　　　D．

【难度】1星

【解析】在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，反之也成立。

【答案】Ａ

【例2】         下列命题中，错误的是（   ）

A．圆是轴对称图形   

B．圆是中心对称图形

C．过三点一定确定一个圆

D．一个三角形只能确定一个外接圆

【难度】1星

【解析】掌握圆基本性质：圆是轴对称图形，对称轴为直径有无数条，圆也是中心对称图形，

圆心是对称中心．不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．

【答案】Ｃ

【例3】         如图，是的直径，是的弦。若,则=      

【难度】2星 

【解析】连接,直径所对的圆周角是，∵在中

同弧所对圆周角相等，。

【答案】

【例4】         如图，点都在上，且点在弦所对的优弧上，若，

则是（    ）

A．    　　　  B．   　　　　 C．    　　　　　   D．

【难度】2星

【解析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

【答案】C

【例5】         如图，的外接圆上，三弧的度数比为．自上取一点,过

        分别作直线的并行线，且交于两点，则的度数为（　   ）

        A．        B．　　　　　　C．             D．

【难度】2星

【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据三弧的度数比为求出及的度数是解答此题的关键．

　　　　解：∵三弧的度数比为，∴的度数，

　　　　,

．

【答案】Ｃ

【巩固】如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形， 、是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于  （    ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．   　　　　 　　　　　　B．   　　

C．  　　　　　　　  　 　 D．

【难度】2星

【解析】考察同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

【答案】B

【例6】         如图，点在上，若，则             

【难度】1星

【解析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

【答案】

【例7】         如图，中，弦相交于点 若，则等于（   ）

A．     　　　　　　 　　　　　　  　Ｂ．         

C． 　 Ｄ．

【难度】2星

【解析】同弧所对的圆周角相等， 在中，

　　　　．

【答案】Ｃ

【例8】         如图，在中，，则圆心到的距离=      

【难度】3星

【解析】过作,交于点, 在中，，由勾股定理得

【答案】

模块二 垂径定理及其应用

【例9】         如图，内接于，为线段的中点，延长交于点, 连接则下列五个结论①,②,③,④,⑤，正确结论的个数是(      )　　　　　　

A．2            B．3                C． 4                 D．5

【难度】1星

【解析】充分理解垂径定理及逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平分弦所对的优弧和劣弧．

【答案】A

【例10】     如图，为的直径，为弦, ,如果,那么的大小为（    ）                                                                 

A． 　　　    B． 　　　    C．      　　　    D．

【难度】２星

【解析】１．考察垂径定理；２.考察等弧所对圆周角与圆心角的关系．

【答案】B

【例11】     如图，是的在直径，弦于点，若，,则的直径为（    ）

A．5      　　         B．6     　 　　   C．8     　          D．10

【难度】2星

【解析】重点是构造直角三角形，连接,∵弦,，由勾股定理得　

,

【答案】D 

【例12】     如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（　　）

      A．1　　　　        B．　　         　C．2　　            　D．

【难度】3星

【解析】考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的运用．关键是利用圆周角定理，垂径定理将条件集中在直角三角形中，解直角三角形．

    解：过点作，垂足为，∵，是所对的圆心角和圆周角，

∴，∵，∴，，

在中，，∴．

【答案】D

【例13】     小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（      ）

A．2             B．                C．               D．3

【难度】4星

【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．

        解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为圆镜的圆心，连结,由图可知

         ，由勾股定理得半径．

【答案】B

【例14】     在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图所示，油面宽为6分米，如果再注入一些油后，油面上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径为（   ）

A．6分米            B．8分米　　  　　 C．10 分米           D．12 分米

【难度】3星

【解析】垂径定理的应用．解如图，依题意的,，过点作的垂线，垂足为，交

        于点，连结，由垂径定理得，，设，则

        ，在中， ．在中，，

       ，解得 ，∴半径，

∴直径分米．

【答案】C

【巩固】一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（   ）

       A．0.4米            B．0.5米          C．0.8米          D．1米

【难度】3星

        解：设半径为，则半径，弦心距，弦得一半组成的直角三角形，，解得

        ，所以直径为1

【答案】D       

【例15】     如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，

OE⊥CD于点E．已测得 ．

（1）求半径OD；

（2）根据需要，水面要以每小时0．5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

【难度】4星

【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，  ∴ED ==12．      在Rt△DOE中，

∵sin∠DOE = =，  ∴OD =13（m）． （2）OE==．         

∴将水排干需：小时．

【答案】(1)13cm  (2 ) 10小时

      A．5米         B． 8米           C．7米           D．米

【难度】3星

【解析】考查垂径定理和勾股定理的应用．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．

　　　　解：因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，

所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，
利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，
进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8

【答案】B

【巩固】如图，为的直径，弦,垂足是,连接，若,则      

【难度】2星

【解析】寻找直角三角形，∵弦∴, =3，

．

【答案】2

【例17】     一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径,截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（　　）

        A．16             B．10            　C．8              D．6

【难度】3星

【解析】考查垂径定理的应用．

        解：∵截面圆圆心到水面的距离，∴在中，

        ，．

【答案】A

【例18】     已知，如图，与坐标轴交与（1,0）、( 5，0)两点，点的纵坐标为。求的半径。

【难度】4星

【解析】过 作,垂足为,则有．由（1,0）、( 5，0)，得，．在 中，∵的纵坐标为。∴的半径 = ==３

【答案】3

【例19】     如图，是的直径，是弦，于,交于,

（1）请写出四个不同类型的正确结论。

（2）连接,设,试找出与之间的关系，并给与证明。

【难度】4星

【解析】(1)①;②；③;④（2）答案不唯一，（如∥；;等也可）（２） 同弦所对的圆周角相等或互补．

【答案】（1）①;②；③等;④（2）

【例20】     已知，如图，的直径，，．

(1)求面积。

(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点，那么点落在四边形区域的概率是多少？

【难度】4星

【解析】(1)∵为的直径，,

，,

        ∴,

        ∵在中，，，

(2)连结,，

∴,．作,垂足为,,

∴,

∴,∴

∵ ∴落在四边形区域的概率=．

【答案】(1)    (2) ．

课堂检测

1．如图，是的外接圆，,点在上（点不与重合），则

    可能为     （写出一个即可）

【难度】3星

【解析】连结则，＞＞，

∴

【答案】答案不唯一，只要满足即可.

2．如图，已知是的弦，半径，则       

【难度】3星

【解析】作于，则平分.．

　　　　，

【答案】

3．如图，海边立有两座灯塔，暗礁分布在经过两点的弓形（弓形是的一部分）区域内，

   ．为了避免触礁，轮船与的张角的最大值为    

【难度】4星

【解析】当点在优弧上时，的值最大，等于　．

【答案】

4．如图，是 的直径，点都在上，连结．已知

，则的长是    

【难度】4星

【解析】．

【答案】6

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 如图，点为优弧所在圆的圆心，。点在延长线上，，则

【难度】4星

【解析】∵

【答案】

2．如图，所对的（图中）的度数为，的半径为５，则弦的长为      

【难度】4星

【解析】连结，过作于．

　　　　所对的的度数为，．

　　　　．

　　　　又在中，，

　　　　由垂径定理得弦．

【答案】

3．如图，的两条弦互相垂直，垂足为，且，已知，则 的半径是     

【难度】4星

【解析】如图，

　　　　作于，于，由垂径定理得，

　　　　连结，在中，由勾股定理得，．

【答案】

4．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（　　）

  A．5           B．7             C．              D．

【难度】4星

【解析】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．             

        解：,根据垂径定理和勾股定理可得．由垂径定理得米，

设圆的半径为，则结合勾股定理得，即，

解得米．

【答案】D

5．如图，已知是的弦，半径求的面积．

【难度】4星

【解析】如图， 

　　　分析：作于，则．

　　　 解：作于点，则有．在中，

　　　 所以，所以

【答案】