12.初中数学.旋转与中心对称（三）.第12讲

模型一  共顶点旋转三角形

有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形

【例 1】       已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：（1）（2）（3）平分（4）是等边三角形．

【解析】 （1）∵、是等边三角形，

∴，，

∴，∴

（2），∴

（3）往角两边作垂线，∵第一问已证∴对应高相等，即角平分线到角两边距离相等

（4）∵又∵∴是等边三角形

【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．

【巩固】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．

【解析】 ∵，∴，

又∵、分别是、的中点，

∴，∴，

∴

∴是等边三角形

【巩固】(全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是(    )

A．钝角三角形   　　B．直角三角形

C．等边三角形   　　D．非等腰三角形

【解析】 易得．所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的．又为线段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得．所以且，，故是等边三角形，选C．

【例 2】       如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．

【解析】 ∵是等边三角形，∴，．

∴，同理，．∴

在与 中，

   ∴，∴．

【巩固】)如图，和均为等边三角形，，．若，则       ．

【解析】 ．

易知≌≌，从而，，

由知是一条高的一部分，

不难算出答案为．

【巩固】如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．

【解析】 ∵，，

∴

∴

又∵

∴

【例 3】       如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

【解析】 连接，将条件，这两个条件，易得()，得，由，，(公共边)，知()，∴．故的度数是定值．

【例 4】       在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是(    )．

     A．锐角三角形       B．直角三角形

C．钝角三角形       D．随、、的变化而变化

【解析】 如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，

则，，，

∴．

∴，∴

又易得，∴在中，有，故应选(B)

【例 5】       如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．

【解析】 连结由上可知，，，，而，．

∴，∴，∴．

【巩固】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

【解析】 连接．因为且，所以．

因为是的中点，所以，且，则．

因为，所以，所以，

所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．

的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；

当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．

【巩固】等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．

【解析】 如图，过点作，交于，连结，易知，

∵，又∵，，，

∴，∴

∴

又∵，∴、、又存在另一关系式

【例 6】       如图所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ．

【解析】 欲证，即证明．然而，，因此只需证明即可．这归结为证明，又归结为证明，最后，再归结为证明的问题．

证 在正方形中，因为，所以，在与中有．所以，在与中有，，

所以．

又在与中，，

所以．

从而，

即．

说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成角，及等均在推证全等三角形中被用到．

(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧．

【巩固】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．

【解析】 正方形中，，

而，

∴，∴

∴，∴

【例 7】       如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：．

【解析】 证明：因为四边形是正方形，所以，

．因为，

所以，所以

，故≌，故．

【巩固】已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．

【解析】 ∵

∴

在和中

∴

∴

【巩固】如图，正方形中，．求证：．

【解析】 延长至，使得，连接．

易证得：，从而可得：，

，故．

【巩固】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形 的面积是16，求的长．

【解析】 如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)

正方形的面积等于四边形面积为，∴．

【例 8】       、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．

【解析】 延长至，使，连结，易证，，．

再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有．

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．

【解析】 把绕点旋转到的位置，．

∵，

又，∴．

又，∴．∴．∴．

又∵，∴．

【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．

⑴求证：．

⑵设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．

【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长至点，使得，连结．

因为是正方形，所以在和中，，

，．

∴，

∴，．

又 ∵ 是的平分线．

∴，

∴．

即．

∵，∴，

∴，∴．

即．

∴，得证．

⑵ ．

∵，

∴

由⑴知，，

所以．

在中，，，

∴，∴．

由上式可知，当达到最大值时，最大．而，

所以，当时，

最大值为．

【巩固】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

⑴求证：CE＝CF；

⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

【解析】 证明：如图1，在正方形中，

∵，

∴．

∴．

(2)成立． 

理由是：

∵，

∴．

∴

即，

又，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴． 

(3)解：过作，交延长线于．

在直角梯形中，

∵，

∴．

又，

∴四边形为正方形．

∴．

已知，

根据(1)(2)可知，．

设，则，

∴．

在中，

∵，

即．

解这个方程，得：．

∴．

【例 9】       如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

【解析】 如图所示，延长到使．

在与中，因为，，，

所以，故．

因为，，所以．

又因为，所以．

在与中，，，，

所以，则，所以的周长为．

【例10】     如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：(1);(2)

【解析】 证明△≌△;(2)作，，先证△≌△，△≌△，再证△≌△

【巩固】如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：．

【解析】 ∵

∴

在和中

   ∴  ∴

【巩固】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．

【解析】 易证△AEC≌△ABG，故∠ACE=∠AGB，又AC⊥AG，∠AOG=∠BOC，故CE⊥BG．

【例11】     如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积．

【解析】 我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断．

我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)？据此，连接，则发现≌，且，，，是底、高各为的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为．

【巩固】如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2．求该五边形的面积．

【解析】 延长至，使得，连接．

∵

∴

∴

∵ C

∴

∵

∴该五边形的面积为16．

点评：本题可看作将五边形分割成三块，通过割补重新组合成一个规则的图形．

【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．

【解析】 连接．由于，．

我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，

所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．

所以．

在与中，

因为，，，

故≌，

因此，即平分．

1. 等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．

【解析】 由条件，且，得．

因为，，所以，

因此，．

因为，

所以为等边三角形．