3初中数学.根的判别式与韦达定理.第03讲

板块一  根的判别式

☞定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．

也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．

☞判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．

设一元二次方程为，其根的判别式为：则

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

☞根的判别式的应用：

☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

【例1】         不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴；⑵（）

【解析】略

【答案】⑴

∵

∴方程有两个不相等的实数根．

⑵∵

∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零

∵

∵无论取任何数，均为非负数

∴，故方程有两个实数根

【巩固】不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根                  B．没有实数根

C．有两个相等的实数根                    D．无法确定

【解析】由方程可得，所以方程有两个不相等的实数根．

【答案】

【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：

⑴；⑵；⑶；⑷；

⑸；⑹；⑺；⑻

【解析】略

【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；

⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根

【例2】         已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程 的根的情况（    ）．

A．有2个负根             B．有2个正根

C．有2个异号的实根       D．无实根

【解析】方程 的判别式为：

∵，，不全为，∴．∴原方程无实数根．故选D．

【答案】D

☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

【例3】         取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根

【解析】略

【答案】

【巩固】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）

A．       B．       C．     D．

【解析】由题可得

所以

【答案】C

【巩固】方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是         

【解析】注意二次项系数不为

【答案】且

【巩固】若关于的二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是     

【解析】注意二次项系数不为

【答案】且

【巩固】若关于的一元二次方程有实数根，则的最小整数值为         

【解析】注意题目要求以及二次项系数不为的条件

【答案】

【巩固】已知方程有实数根，求的范围．

【解析】注意分两种情况讨论：

若，则原方程可化为满足题意；

若，则由题意可知．

综上可知，

【答案】

【例4】         关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【解析】由题意，得     解得且

【答案】且

【巩固】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________．

【解析】，解得

【答案】

【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：

【解析】∵，∴

∴

【答案】

【巩固】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【解析】由题意可知，原方程的判别式．

        又，故．

【答案】

【巩固】为何值时，方程有实数根．

【解析】需要分两种情况来讨论：

⑴ 当时，原方程是一元一次方程，有一个实数根；

⑵ 当时，方程是一元二次方程，故，解得且，所以当且时方程有两个实数根．综上所述，当时，方程有实数根．

【答案】

【例5】         关于的方程有实数根，则整数的最大值是      ．

【解析】由一元二次方程根的情况可知，即，解得，故．

【答案】8

【巩固】若方程有实数根，求：正整数．

【解析】，即，解不等式得，即．

【答案】1，2，3

【例6】         已知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________．

【解析】∵有两个相等的实数根．

∴，即

∴，∴，

∴，，因此．

【答案】

【巩固】当为何值时，方程有实根？

【解析】要使关于的一元二次方程有实根，则必有，即

，

得．

又因为，

所以，得，．

【答案】，

【例7】         已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（      ）

A．有两个不相等的正实数根         B．有两个异号的实数根

C．有两个不相等的负实数根         D．不一定有实数根

【解析】的，

∵二次方程有两个实数根，

∴，∴，

∴

∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C．

【答案】C

【巩固】若方程只有一个实数根，那么方程（   ）．

A．没有实数根               B．有2个不同的实数根

C．有2个相等的实数根       D．实数根的个数不能确定

【解析】∵方程只有一个实数根，∴，得．

∴方程，即为方程，∴．

∴方程有2个相等的实数根．故选C．

特别注意方程只有一个实数根．若，则方程要么有个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有个实数根，所以，且．

【答案】C

☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

【例8】         对任意实数，求证：关于的方程无实数根．

【解析】略

【答案】∵，故方程为一元二次方程．

∵，∴，故方程无实根．

【巩固】求证：关于的一元二次方程有两个实数根．

【解析】略

【答案】∵是关于的一元二次方程

∴

∵

∴原方程有两个实数根．

【巩固】已知实数、、、、满足，，求证：一元二次方程 必有实根．

【解析】略

【答案】，因，则．又，所以当时，；当时，，．因此，一元二次方程必有实根．

【巩固】证明：无论实数、取何值时，方程都有实数根

【解析】注意分类讨论.

【答案】⑴若，则方程为，当时，有实数根；当时，方程的根为任意实数

⑵当时，原方程为一元二次方程

∴方程必有实数根

综合⑴⑵可知，原结论成立

【巩固】已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根．

【解析】略

【答案】当时，可化为，此时方程有根，故

        故．

        方程的判别式为：

        故方程有两个实数根．

板块二  韦达定理

☞ 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，

则，．

☞利用韦达定理求代数式的值

【例9】         不解方程，求两根之和与两根之积

【解析】韦达定理成立的前提条件是

【答案】令此方程的两个实数根为、

由韦达定理得，

【巩固】设方程的两个根为、，不解方程求下列各式的值

⑴；⑵；⑶

【解析】不解方程，即利用韦达定理将、的整体构造出来

【答案】由韦达定理得，

⑴；

⑵

⑶，∴

【巩固】已知方程的两个根为、

⑴            ；⑵；⑶；⑷

【解析】略

【答案】⑴；⑵；⑶；⑷

【巩固】已知、是方程的两根，求的值．

【解析】注意，均为负数，很多学生求出的结果均为负值

【答案】由韦达定理可得，，

∴，∴

☞利用韦达定理求参数的值

【例10】     若、是方程的两个根，则

【解析】略

【答案】

【巩固】若方程的一个根为，则它的另一根等于          ，等于        

【解析】部分学生喜欢将代入原方程，求的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

【答案】设方程的另一根为，根据题意得，解得，

【巩固】关于的方程的一个根为，则另一个根是         ，

【解析】略

【答案】设另一个根是，根据题意得，，解得，

【巩固】方程的两个根之比为，则

【解析】略

【答案】设方程的两个根为、，根据题意得，解得，

【巩固】已知是方程的一个根，求另一个根和的值

【解析】略

【答案】设另一个根为，根据题意得，解得，

【例11】     已知方程的两个根的平方和是，求的值。

【解析】易忽略的条件

【答案】设方程的两根为、，由韦达定理得，根据题意得解得，

【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实根、，且，求的值

【解析】易忽略的条件

【答案】由韦达定理得，∵  ∴ ，即，解得或

∵，∴

【巩固】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值

是＿＿＿＿．

【解析】易忽略

【答案】由韦达定理得，∵ ∴

即，整理得，解得或

∵，∴

【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根、

⑴求的取值范围。

⑵是否存在实数，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由

【解析】易忽略

【答案】⑴根据题意得，解得且

⑵不存在这样的实数

假设方程的两个实数根、互为相反数，则

解得，∵且

∴舍

因此不存在这样的实数，使方程的实数根互为相反数

【例12】     是否存在常数，使关于的方程的两个实数根、，满足，如果存在，试求出所有满足条件的值；如果不存在在，请说明理由

【解析】此类问题应先假设值存在

【答案】解：假设存在满足条件的，则由韦达定理得①，②

∵  ∴  ∵，∴③

由①②③解得，

当，时，均大于

所以存在满足条件的常数，或

☞利用韦达定理构造一元二次方程

【例13】     已知两个数的和为，积为，求这两个数

【解析】韦达定理

【答案】设这两个数为、，由题意得，

所以，以、为根的一元二次方程为，解得，

∴这两个数分别为，

【巩固】以和为根，二次项系数为的一元二次方程为

【解析】略

【答案】，（最好让学生整理出一般形式）

【巩固】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是各根的负倒数

【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为的简单形式，再根据，

【答案】设方程的两根为、，则，

设所求方程为，其两根为、

则，

∴；

∴所求的方程为，即

1. 方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是         

【解析】注意

【答案】且

2. 若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（）

A.    B.    C.     D.

【解析】韦达定理

【答案】不妨设方程的两个根为、，且

∴，则

∴，将代入方程整理，即可得

3. 方程没有实数根，那么的最小正整数值是          

【解析】略

【答案】解得,∴最小正整数值是

4. 一元二次方程中，，，，且，则两个根的符号（   ）

A.同为正          B.同为负           C. 一正一负         D.同号

【解析】韦达定理的应用

【答案】设的两个实数根为、，则，∴两个根同为正

5. 如果方程的两个根的平方和等于，那么

【解析】略

【答案】设方程的两个根为、，则，

根据题意得，解得

6. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则

【解析】略

【答案】

7. 已知实数和满足和，求的值

【解析】注意分类讨论，

【答案】当时，原式；当时，原式

8. 已知、、是三角形的三边长，求证：没有实数根

【解析】略

【答案】

∵、、是三角形三边长

∴

∴方程没有实数根

1. 关于的二次方程有两个实数根，则的取值范围是         

【解析】略

【答案】且

2. 已知方程的两个实数根是、，同时方程的两实数根是，，则的值等于（    ）

A.                  B.               C.             D.

【解析】略

【答案】且

3. 已知、是一元二次方程的两根，那么代数式的值为       

【解析】略

【答案】原式

4. 已知方程没有实数根

求证：方程一定有两个不相等的实数根

【解析】略

【答案】证明：由题意得，解得

∴

则方程一定有两个不相等的实数根

5. 当是什么实数时，关于的二次方程与都有实数根。

【解析】略

【答案】根据题意得，解得且