【暑假提升】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假-专题2.1《二次函数的实际应用》预习讲学案

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❊2.10 二次函数的综合应用
考点先知

知 识
考 点
二次函数的综合应用
1.等腰三角形的存在性问题
2.直角三角形的存在性问题
3.三角形的面积最值问题
4.平行四边形的存在性问题
题型精析

知识点一 特殊三角形的存在性问题

特殊三角形的存在性问题
两点间的距离公式
已知，，则.
两个一次函数垂直
已知，，若两个一次函数互相垂直，则.
一次函数k的计算方法
已知，，则.
题型一 熟悉公式

例1

已知，，
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求A、B所在的一次函数的k值.



例2

已知函数，若函数与互相垂直，则______.
变1
已知，，
（1）求A、B两点间的距离；
（2）求A、B所在的一次函数的k值；
（3）若一次函数与AB所在一次函数互相垂直，求k的值.



变2
如图所示，

（1）请写出A、B、C三点的坐标；
（2）求AB所在直线的斜率（即k）；
（3）若在x轴上有一动点P，求并且满足AC=PB，求P点的坐标.





题型二 特殊三角形的存在性问题

类型一 等腰三角形存在性问题

等腰三角形亦可用“两圆一线”的方法.
例1

如图，已知抛物线经过，两点．
  
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不存在，请说明理由．


【第二问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：A=_______，C=_______，M=_______，
第二步：求出三边长度：AC=__________，AM=__________，CM=__________，
第三步：分类讨论：
①当AC=AM时，
②当AC=CM时，
③当AM=CM时，
第四步：得出答案：所以M点的坐标为___________________.






【答案】(1)
(2)符合条件的点的坐标有：，，，
【分析】（1）把，代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得点的坐标，设，进而分类讨论①当，②，③，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：把，代入抛物线得：
，解得：，
则抛物线的解析式是：；
（2）由，
当时，，则，
∵，
∴，
设，则，
如图1，
  
①当时，，
解得：（舍去）或，
②当时，，
解得：或
③当时，，
解得：
综上所述，符合条件的点的坐标有：，，，
例2

如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

（1）求抛物线的关系式；
（2）已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．[]
（2）在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【第三问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：P=_______，C=_______，D=_______，
第二步：求出三边长度：PC=__________，CD=__________，PD=__________，
第三步：分类讨论：
①当PC=CD时，
②当PC=PD时，
③当CD=PD时，
第四步：得出答案：所以P点的坐标为___________________.

【答案】(1)
(2)①；②
(3)存在，或

【分析】（1）点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解；
（2）①先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
变1
如图，关于的二次函数的图像与轴交于点和点B，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标．
【第二问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：P=_______，B=_______，C=_______，
第二步：求出三边长度：PB=__________，PC=__________，BC=__________，
第三步：分类讨论：
①当PB=PC时，
②当PB=BC时，
③当PC=BC时，
第四步：得出答案：所以P点的坐标为___________________.
【答案】(1)
(2)存在，或或或

【分析】（1）代入和，解方程组即可；
（2）求出点的坐标，再根据勾股定理得到，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③．
【详解】（1）解：把和代入，

解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得：或，
，
，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，

①当时，，
或
，；
②当时，，
；
③当时，

此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或．
变2
已知二次函数经过点，，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【第二问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：P=_______，C=_______，D=_______，
第二步：求出三边长度：PC=__________，CD=__________，PD=__________，
第三步：分类讨论：
①当PC=CD时，
②当PC=PD时，
③当CD=PD时，
第四步：得出答案：所以P点的坐标为___________________.
【答案】(1)
(2)存在，，或

【分析】（1）将、代入二次函数求得、的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分以为底和以为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：二次函数经过点、，
根据题意，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）存在．
对称轴为直线．
①若以为底边，则，
设点坐标为，根据勾股定理可得，，
因此，
即．
又点在抛物线上，
，
即，
解得，，应舍去，
，
，
即点坐标为，．
②若以为一腰，
点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，
此时点坐标为．
符合条件的点坐标为，或．

类型二 直角三角形的存在性问题

例1

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
  
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；[]
（3）在（2）的条件下，在 y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【第三问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：Q=_______，M=_______，C=_______，
第二步：求出三边的斜率：=__________，=__________，=__________，
第三步：分类讨论：
①当时，
②当时，
③当时，
第四步：得出答案：所以Q点的坐标为___________________.

【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)存在．点Q的坐标为或或或

【分析】（1）根据直线过点B，D，可求出B，D两点的坐标，从而求出点C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）把的面积看成即可求出答案；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）解：（1）∵直线过点B，D，点B在x轴上，点D在y轴上，
令，得，令，得，
∴，，
∵点C和点D关于x轴对称，
∴点C的坐标为
∵抛物线经过点B和点C，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：设点P的坐标为，
则点M的坐标为，点N的坐标为，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，，
此时点P的坐标为．
（3）解：存在．
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵是直角三角形，
∴分三种情况：
①当时，轴，
∴Q，两点的纵坐标相同，
∴；
②当时，轴，
∴Q，两点的纵坐标相同，
∴；
③当时，
设，则，
∵，，
∴，，，
∴，
解得：，，
∴点Q的坐标为或，
综上所述：点Q的坐标为或或或．
例2

抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，符合题意的点E的坐标为或或或．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况：，，讨论即可．
【详解】（1）解：∵经过、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在y轴上存在点E，使为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为，
∴，
设E点坐标为，
∴，，，
当时，有，
∴，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，             
，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，
，
解得或，
∴此时点E的坐标为或．
综上所述，符合题意的点E的坐标为或或或．
变1
如图，抛物线与x轴交于点和．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点，点是位于x轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；[]
（3）在（2）的条件下，连接，x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【第三问解答】
第一步：写出的三个点的坐标：O=_______，C=_______，P=_______，
第二步：求出三边的斜率：=__________，=__________，=__________，
第三步：分类讨论：
①当时，
②当时，
③当时，
第四步：得出答案：所以P点的坐标为___________________.

【答案】(1)
(2)
(3)点或

【分析】（1）把点和代入，待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据解析式配方得出，，根据四边形是平行四边形 ，可得，得出点的横坐标，代入抛物线解析式即可求解；
（）①当点是直角顶点时，过点作于点，交对称轴于点，则过点作直线轴于点，过点作于点，证明，设，根据相似三角形的性质得出，进而代入数据求得；②当点是直角顶点时，连接，，则，得出是斜边的中线，即可求解．
【详解】（1）解：把点和代入
得  
解得
抛物线的解析式为；
（2）∵
抛物线的对称轴为直线，
四边形是平行四边形  

点的横坐标是
点在抛物线上  
点的坐标是；
（3）①当点是直角顶点时，过点作于点，交对称轴于点，则过点作直线轴于点，过点作于点
，，
，
又，
，
，
设，  
，  
，，
，，
，  


②当点是直角顶点时，连接，，则

在中  
四边形是平行四边形  


是的中位线

是斜边的中线

点在上方，


综上所述，在轴上方对称轴上存在点或，使是直角三角形．
变2
综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，．

（1）求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；
（2）求线段BC的长；[]
（3）探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)，，对称轴
(2)
(3)或

【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据三角形相似求出的长，再根据相似三角形的相似比求出，利用勾股定理求出的长；
（3）利用两点距离公式求出、、的长，再根据勾股定理建立方程进行求解．
【详解】（1）解：，
令，得到，
解得，，
，，
对称轴为：；
（2），，
，
，
，，
，
，
设，，
，
，
，
解得或（舍），
；
（3），，
，
C点横坐标为：，
把代入，得，
，
对称轴为，
设，
，
，
，
当时，，
即，解得，
；
当，，
即，此方程无解；
当，，
即，解得，、
，
综上所述，P为或．
知识点二 铅锤法求面积最值问题

铅锤法求面积最值问题

已知×水平宽×铅锤高=.
【注意】面积最值问题也可以用“平移”的方法.
题型三 铅锤法求面积最值问题

例1

如图1，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A（4，0）和点B（-1，0），交y轴于点C．
Q

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△ACP面积的最大值；
（3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使△BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【第二问解答】
过点P做直线PQ//y轴，交直线AC于点Q. 根据“铅锤法”，我们需要求出A、C、P、Q四个点的坐标.
第一步：求出直线AC的解析式：_________，
第二步：设出P点的坐标：设P点坐标为_________，
第三步：写出A、C、P、Q四个点的坐标：A（______），C（______），P（______），Q（______），
第四步：根据“铅锤法”，写出△ACP的面积：
________________________，
第五步：根据二次函数求最值的方法求出面积的最大值：________.

思路引领：（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△ACP面积=S△PHA+S△PHC=12×PH×AO，即可求解；
（3）分MB、MC、BC是斜边三种情况，列出函数关系式即可求解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y=a（x+1）（x﹣4）=a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a=﹣3，
解得：a=34，
即抛物线的表达式为：y=34x2−94x﹣3；

（2）设直线AC的表达式为：y=kx﹣3，
将点A的坐标代入上式得：0=4k﹣3，
解得：k=34，
即直线AC的表达式为：y=34x﹣3，
过点P作PH∥y轴交AC于点H，

设点H（x，34x﹣3），则点P（x，34x2−94x﹣3），
则△ACP面积=S△PHA+S△PHC=12×PH×AO=12×4×[（34x﹣3）﹣（34x2−94x﹣3）]=−32x2+6x，
∴−32＜0，故△ACP面积有最大值，
当x=2时，△ACP面积的最大值为6；

（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为x=32，设点M（32，m），
由勾股定理得：BM2=（32+1）2+m2，同理可得：BC2=10，MC2=94+（m+3）2，
当MB是斜边时，则（32+1）2+m2=10+94+（m+3）2，
解得：m=−156，即点M（32，−156）；
当BC是斜边时，则10=（32+1）2+m2+94+（m+3）2，
解得：方程无解；
当MC是斜边时，则（32+1）2+m2=10+=94+（m+3）2，
解得：m=56，即点M（32，56），
综上，点M的坐标为：（32，−156）或（32，56）．

例2

如图，抛物线y=ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
E

（1）求抛物线和直线BC的函数解析式．
（2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【第二问解答】
过点D做直线DE//y轴，交直线BC于点E. 根据“铅锤法”，我们需要求出B、C、D、E四个点的坐标.
第一步：求出直线BC的解析式：_________，
第二步：设出D点的坐标：设D点坐标为_________，
第三步：写出B、C、D、E四个点的坐标：B（______），C（______），D（______），E（______），
第四步：根据“铅锤法”，写出△BDC的面积：
________________________，
第五步：根据二次函数求最值的方法求出面积的最大值：________.
思路引领：（1）根据两点A、B的坐标解出二次函数的解析式，根据B、C两点的坐标解出直线的BC解析式；
（2）建立二次函数的关系式，求出△BDC面积的最大值及此时点D的坐标
（3）分三种情况讨论即可求出点P的坐标．
（1）解：把A（﹣1，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+4得，0=a×(−1)−b+40=4a+2b+4，
解得a=−2b=2，
∴y=﹣2x2+2x+4，
∵c=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+4，
把B（2，0）代入y=kx+4得，0=2k+4，
∴k=﹣2，
∴y=﹣2x+4；

（2）解：如图，过点D作DF⊥AB于点F交BC于点E，设D（m，﹣2m2+2m+4），E（m，﹣2m+4），

∴DE=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，
∴S△BDC=12DE×2=12(−2m2+4m)×2=−2m2+4m=−2（m﹣1）2+2，
∵a=﹣2＜0，
∴当m=1时，S△BCD的最大值为2，﹣2m2+2m+4=﹣2×12+2×1+4=4，
∴D（1，4）；

（3）解：二次函数的对称轴为：x=12，设点P的坐标为(12，y)，
①当BC为等腰三角形的腰，∠C为顶角时，PC=14+(y−4)2=BC=25，
解得y1=8+792或y2=8−792，
∴P(12，8+792)或P(12，8−792)；
②当BC为等腰三角形的底边时，BC中点的坐标为E（1，2），
作直线l2⊥BC且过E，
设直线l2方程为y1=k2x+b2，k2×(−2)=−1k2+b2=2，
解得k2=12b2=32，
∴l2方程为y2=12x+32，
令x=12，y2=74，
∴P(12，74)；
③当BC为等腰三角形的腰，∠B为顶角时，PB=(2−12)2+y2=25，
解得y1=712或y2=−712，∴P(12，712)或P(12，−712)，
综上所述，点P的坐标为(12，74)或(12，8+792)或(12，8−792)或(12，712)或(12，−712)．
变1
如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点A，B在x轴上，且，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
  
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【第二问解答】
第一步：做辅助线：________________________________，（请在图中画出辅助线）
第二步：求出直线AC的解析式：_________，
第二步：设出动点的坐标：设动点P的坐标为_________，
第三步：写出四个点的坐标：___（______），___（______），___（______），___（______），
第四步：根据“铅锤法”，写出△PAC的面积：
________________________，
第五步：根据二次函数求最值的方法求出面积的最大值：________.
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为，面积的最大值为8
(3)存在，点Q的坐标为或或或

【分析】（1）根据点C的坐标，即可求出的长，再求出点A，点B的坐标，利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）作轴交于点D，先求出的函数解析式，然后设，则得出，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值；
（3）根据，再根据勾股定理即可得出的长，再分三种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：点C的坐标为，
．
，
，，
，．
设抛物线的函数解析式为，
把点代入上式，得，解得，
抛物线的函数解析式为，即．
（2）解：存在．
如图，作轴交于点D．
  
由，，易得直线的函数解析式为．
设，则，
，
．
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为8，此时，
点P的坐标为，面积的最大值为8．
（3）解：存在．
，，．
当时，点Q在原点，即；
当时，点Q与点A关于y轴对称，则；
当时，点Q的坐标为或．
综上所述，点Q的坐标为或或或．
变2
已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
【第二问解答】
第一步：做辅助线：________________________________，（请在图中画出辅助线）
第二步：求出直线AB的解析式：_________，
第二步：设出动点的坐标：设动点P的坐标为_________，
第三步：写出四个点的坐标：___（______），___（______），___（______），___（______），
第四步：根据“铅锤法”，写出△PAB的面积：
________________________，
第五步：根据二次函数求最值的方法求出面积的最大值：________.

思路引领：（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S=12×OB×PD，即可求解；
解：（1）由题意得：
36a+6b+c=04a−2b+c=0c=6，解得：a=−12b=2c=6，
∴抛物线的表达式为：y=−12x2+2x+6；
（2）∵A（0，6），
∴直线AB的表达式为：y=kx+6，
将点B的坐标代入上式得：0=6k+6，解得：k=﹣1，
∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6，
点P的横坐标为m，则P（m，−12m2+2m+6），
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，

则D（m，﹣m+6），
∴S=12×OB×PD=12×6×（−12m2+2m+6+m﹣6）=−32（m﹣3）2+272，
∴当m=3时，S的值取最大，此时P（3，152）；
变3
在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．

【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE=S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【解答】解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
∵OA=1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2=0，
∴，
∴抛物线的解析式为y=，即y=．
令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴B（3，0），
∴AB=OA+OB=4，
∵△ABD的面积为5，
∴=5，
∴yD=，代入抛物线解析式得，，
解得x1=﹣2，x2=4，
∴D（4，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y=．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），

∴=，
∴S△ACE=S△AME﹣S△CME===，
=，
∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．
知识点三 平行四边形的存在性问题

平行四边形的存在性问题

如图，四边形ABCD是平行四边形，则根据平行四边形对角线互相平分，AC与 BD的中点横纵坐标相等.
题型三 平形四边形的存在性问题

例1

如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．
  
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
（3）是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，坐标为或

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入，
∴，解得，
∴．
（2）解：存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，，，
∴
∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
①，解得：或，
∴或；
②，此时t无解；
综上所述：点坐标为或．
例2

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．
  
（1）求抛物线解析式；
（2）在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
（2）的坐标为或或

【分析】（1）根据得，再由待定系数法即可求出解析式；
存在．分类讨论：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形．由平行线的性质和平移的性质可得点的坐标．
【详解】（1），
，
设，
把代入得，
解得，
；
存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，
点的横坐标为，
将代入，
；
  
如图，当四边形是平行四边形时，则，
同理得：；
  
如图，当四边形为平行四边形时，
  
由平行四边形对角线互相平分可得：点的横坐标为：，
将代入，

综上所述，点的坐标为或或
变1
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标为，点的坐标为为．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形﹖若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分点在轴上方和轴下方，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴
解得
∴抛物线的函数关系式为；
（2）在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形；
理由：①如图1，当点在轴下方时，则：，

∴点的纵坐标为，
令，则，
解得，，
∴点的坐标为；
②如图2，当点在轴上方时，
∵平行四边形的对角线分平行四边形为面积相等的两个三角形，点到轴的距离为3，

∴点到轴的距离为3，
令，则，
解得，
∴，，
综上可得，在抛物线上存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
变2
如图，抛物线与x轴交于两点，且，与y轴交于点，其中是方程的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点M是线段上的一个动点，过点M作，交于点N，连接，当的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）先解方程得到，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作轴于H，如图1，设，证明，利用相似比可表示出，则，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定，如图2，然后分类讨论：当，由于，易得此时F点坐标为或；当时，根据平行四边形的性质可得到点E和点D的纵坐标互为相反数，则计算出当时，或，得到E点坐标为或，然后利用点平移的规律和确定对应F点的坐标．
【详解】（1）解：解方程得，则，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：作轴于H，如图1，
设，
，
，
，即，
，


，
当时，的面积最大，此时M点的坐标为；

（3）解：当时，，则，
如图2，当，则，
∴，
∴此时F点坐标为或；
当时，则点E和点D的纵坐标互为相反数，即点E的纵坐标为5，
当时，，
解得，
若E点坐标为，由于点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到D点，则E点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到F点，此时F点坐标为；
若E点坐标为，同样方法得到此时F点坐标为；
总上所述，满足条件的F点坐标为或或或．

课后强化

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．

（1）求二次函数的表达式；
（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，P点的坐标为：.

【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）设出点P坐标，分三种情况讨论分析即可．
【详解】（1）∵二次函数经过点，
∴，
解得，
所以二次函数的解析式为：，
（2）的对称轴为，
设，又，
可求，
当时，，
解得，，此时；
当时，，
解得，，此时点P坐标为；
当时，，
解得，，此时点P坐标为：．
综上所述，
P点的坐标为：.
2.如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．

【分析】（1）根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况进行讨论：①时；②；③．
【详解】（1）解：对于直线，
令，即，
解得：，
令，得，
∴，，
∵A为x轴负半轴上一点，且，
∴．
将点A、B的坐标分别代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在．如图2，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴，

∵点P在x轴上，
∴设．
∵，
∴由勾股定理，得：，，，
分为三种情况讨论：
①当时，，
即，
解得，，
此时点P的坐标为或；
②当时，，即，
解得，（不符合题意，舍去），
此时点P的坐标为；
③当时，，
即，
解得，
此时点P的坐标为．
综上所述，在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．

3.平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
即，解得：，
∴，
令，则，
令，则，
解得：，
，，
（2）解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
①当时，,
∴
解得：
②当时，,
∴
解得：
③当时，,

解得：或.
综上所述：，，，，，，，
4.如图，已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．

（1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线上的点，若轴，且（点E在点F左侧），求点E的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
【答案】(1)，
(2)存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标和对称轴，由此即可求出点D的坐标；
（2）设点P的坐标为，利用勾股定理求出，，，再分当，则，当时，则，当时，则，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
令，则，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴；
（2）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
当，则，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，存在点P，使得为直角三角形，此时点P的坐标为或或或．
5.如图，已知二次函数的图象交轴于点，B，交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求点C的坐标和直线的表达式；
（3）点P是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)

【分析】（1）将，代入函数解析式，求出a、b，即可求解；
（2）求出点C的坐标，再用待定系数法直线解析式；
（3）设点P坐标为(t，t2-4t+3)，过点P作轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得
，
解得，
∴这个二次函数的表达式是
（2）当时，，即点，
设的表达式为，将点点代入函数解析式，得
，
解得 ，
∴直线的解析是为，
（3）设点坐标为，过点P作轴，交直线于点，

，
∴
∵，
∴当时， ．
6.如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
  
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）将、代入，求解可得坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可；
（2）如图1，过作于F，交于E，，，则， ，根据二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，解得，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入得，，解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图1，过作于F，交于E，
  
∴，，则，



∵，
∴当时，四边形面积最大，值为；
将代入得，，
∴，
∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为．
7.如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

（1）求抛物线的关系式；
（2）已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)存在，或

【分析】（1）点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解；
（2）①先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
8.如图所示，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点，已知，对称轴在轴左侧．

（1）求抛物线的表达式；
（2）若点在对称轴上，则抛物线上是否存在点，使得点构成平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，的坐标为或或

【分析】（1）把点代入抛物线可得的值，再根据韦达定理即可求解；
（2）根据题意，分别求出坐标，再分类讨论，①若为边；②若为对角线时；根据几何图形的特点即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，
∴，
∴抛物线的解析式为，设，
∴由题意得，
∴，
∵，，
∴，解得，，，
又∵对称轴在轴左侧，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：存在点，使得点构成平行四边形，理由如下，
∵抛物线的解析式为，
∴时，，，
∴，
①如图所示，若为边，

∴，，
∵在对称轴上，
∴点的横坐标为或，
当时，，当时，，
∴点的坐标为或；
②如图所示，若为对角线时，

∵，，
∴的中点的坐标为，
∵在直线上，设的横坐标为，
∴，解得，，
把代入抛物线解析式得，
∴点的坐标为；
综上所述，M的坐标为或或．
9.如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大面积为，点P的坐标为（﹣，）
(3)能，点或

【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出直线的解析式，过点P作轴交于Q，设，则，根据求出函数关系式，即可得到答案；
（3）先求出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1 ）知，抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于Q，

设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，此时，点P的坐标为；
（3）能是平行四边形；
由(1)知，抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，
设点，
假设存在以B，C，P，M为顶点、为边的四边形是平行四边形，
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
得，
∴；
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
∴，
∴，
即：满足条件的点或．

10.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求得的解析式，过作轴交于点，进而求得的长，根据求得的表达式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的值，进而求得点的坐标；
（3）分当为平行四边形的对角线时， 当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴交于点，
在中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴，
∴



，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时
∴；

（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，
当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得或，
∴或；
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或．