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【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第18讲《一元一次不等式》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第18讲《一元一次不等式》预习讲学案，文件包含第18讲一元一次不等式解析版docx、第18讲一元一次不等式原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
第18讲 一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
例1．下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【解析】
【分析】
对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
例2．下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【答案】C
【解析】
【分析】
解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
例3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
例4．在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
解：x﹣2＞2x，
解得：x＜﹣2，
故符合题意的有：﹣4，﹣共2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
例5．在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．
-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
是整式，不是一元一次不等式；
x=3是方程，不是一元一次不等式；
x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；
x≠5是一元一次不等式；
x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴是一元一次不等式的有1个
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．
例6．若是关于的一元一次不等式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义得出a＋1≠0，|a|＝1，求解即可．
解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴a＋1≠0，|a|＝1，
解得：a＝1，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出a＋1≠0，|a|＝1．
例7．不等式的解集，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可．
解： ，
在数轴上表示其解集如下：
故选C
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右拐，小于向左拐的画图方法”是解本题的关键．
例8．不等式的非负整数解的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据x＜4不等式，写出非负整数解，注意：非负整数是指正整数和零，不要把零忘记了．
不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A．
【点睛】
本题是一道有关非负整数的题目，解题的关键掌握非负整数的概念；
例9．解不等式的步骤如图所示，则在每一步变形中，依据“不等式的基本性质”有（ ）
解：①
②
③
④
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图及不等式的性质可直接进行排除选项．
解：由题意得：步骤②④依据了“不等式的基本性质”；
故选D．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质及一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质及一元一次不等式的解法是解题的关键．
例10．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式两边都乘以6即可得解.
解:不等式两边都乘以6得，
故选: D.
【点睛】
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; .
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
例11．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的解集，对应即可得出答案．
解：，
解得，
，
解得，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是根据两不等式解集相同得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用解不等式的知识解出不等式是关键．
例12．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（ ）
A．每人分8本，则剩余 5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人
C．每人分5本，则剩余 8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的意义即可求解．
解：由可知条件为：每人分8本，则恰好可多分给5个人．
故选：B
【点睛】
本题主要考查不等式的意义，学生们熟练掌握即可求解．
例13．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由，可取，然后求出M、N、P的值，再进行比较即可.
解：根据题意，∵，
∴取，
则，，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练利用赋值法求出M、N、P的值，然后进行比较.
例14．关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
例15．关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，可令，（a为正整数），根据解不等式的步骤即可求解．
解：不等式，即，其解集为，
故，，且，
令，（a为正整数），代入不等式，
得，
移项合并得，
∵a为正整数，
∴，
即不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了求不等式的解集，掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
例16．若方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解关于的方程，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求解．
去括号得
移项，合并同类项得
解得
方程的解是负数，
解得．
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解题意求得的值是解题的关键．
一、单选题
1．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的解集表示方法即可求解．
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点
∴x＞﹣2
故选：D．
【点睛】
此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
A、小于5的整数有无数个，正确；
B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
3．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义作出判断．
解：①；③；④三个不等式中，未知数只有1个，且未知数的最高次数为1次，所以3个都是一元一次不等式；
②，未知数的次数为-1，不是1，所以不是一元一次不等式；
⑤是一个不含未知数的不等式，所以不是一元一次不等式．
故选C．
【点睛】
本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的意义是解题关键．
4．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
由，解得：，
A、由，解得：，故符合题意；
B、由，解得：，故不符合题意；
C、由，解得：，故不符合题意；
D、由，解得：，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键．
5．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式求出其解集，然后由数轴可得不等式的解集为x≤﹣1，进而可得关于a的方程，解方程即得答案．
解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得，
由不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1，
所以，解得：a=﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
6．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-5
【答案】B
【解析】
【分析】
求出不等式2x+5＜1的解集，再求出不等式4x+1＜x-m的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
解：解不等式2x+5＜1得：x＜-2，
解关于x的不等式4x+1＜x-m得，
∵不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，
∴≥-2，
解得：m≤5，
故选：B．
【点睛】
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先解出不等式，根据已知条件求出m，n的式子计算即可；；
解不等式得，
，
∵，
∴，
得到：，
解得：，
整理不等式，
得，
解得：．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键．
8．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（ ）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
【答案】C
【解析】
【分析】
设这件商品的进价为x元，首先根据题意列出方程求出商品的进价，然后求出盈利的最低价格，从而用两个价格作差即可得出答案．
设这件商品的进价为x元，根据题意得，
，
解得 ，
盈利的最低价格为（元），
∴商店老板最多会降价（元），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，能够求出商品的进价及盈利的最低价格是解题的关键．
9．若方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是正数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围．
原方程可整理为：3mx＋3m＋1＝3m−mx−5x，（3m＋m＋5）x＝−1，两边同时除以（4m＋5）得，x＝，
∵方程3m（x＋1）＋1＝m（3−x）−5x的解是正数，
∴＞0，
∴4m＋5＜0，
解得：．
故选：D
【点睛】
本题考查一次方程与不等式，解关于x的不等式是解题的关键．
10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
①②得：
∴
将代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
二、填空题
11．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|-1=1，且m+2≠0，
解得：m=-2（舍去）或m=2，
则m的值为2，
故答案为2.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
12．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为______．
【答案】-
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以a，不等号的方向改变了．得到不等式的解集为：x≥，又因为它的解集是x≥-4，所以=-4，即可解得a的值．
∵不等式ax≤2的解集是x≥-4，
∴a＜0；
解不等式得：x≥，
∴=-4，
解得a=−，
故答案为−．
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
13．不等式①，②，③，④，⑤，⑥中一元一次不等式是________．（只填序号）
【答案】②⑥
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
解：①，含有两个未知数，不合题意；
②，是一元一次不等式，符合题意；
③，不等式左边是分式，不符合题意；
④，未知数次数不为，不符合题意；
⑤，即为，不符合题意；
⑥，是一元一次不等式，符合题意；
故答案为：②⑥．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的定义，熟知定义是解本题的关键．
14．有下列说法:①x=是不等式4x-5>0的解;②x=是不等式4x-5>0的一个解;③x>是不等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解集.其中正确的是__.(填序号)
【答案】②③
【解析】
【分析】
分别解①②③④中的不等式，再根据不等式的解去判断正误.
4x-5>0 故x=不是不等式4x-5>0的解;
② x=是不等式4x-5>0的一个解;
③x>是不等式4x-5>0的解集;
④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,但不是它的解集.
【点睛】
此题重点考查学生对不等式解的理解，掌握不等式的解法是解题的关键.
15．杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有______种购买方案．
【答案】3
【解析】
【分析】
设购买篮球个，足球个，根据“篮球购买的数量不少于40个， 学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为 10260元”，列出不等式组，求出的取值范围，由为正整数，即可解答；
解：设篮球购买个，则足球购买个，由题意得：
，
解得：，
为正整数，
取 40，41，42．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次不等式组，解出的取值范围，再利用为整数进行排除．
16．，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质可得是非负数，据此即可得到不等式，从而求解．
根据题意得：⩾0，
解得：
故答案是：
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，绝对值，解题关键在于利用绝对值的非负性．
17．当________时，代数式的值是非负数．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，列出不等式解不等式即可．
依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
三、解答题
19．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）是不等式的一个解；
（2），，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有，，0；
（5）不等式的解中不含0．
【答案】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） （3）（答案不唯一） （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以；
（2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以；
（3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以；
（4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以；
（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以．
（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（2）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（3）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（4）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（5）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
【点睛】
本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念．
20．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）；
（7）；
（8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解
【解析】
【分析】
（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
解：
（1），
解得：；解集在数轴上表示如下：
（2），
移项得：，
化简得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（3），
去分母得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（4），
移项得：，
合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（5），
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（6），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（7），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（8），
移项合并同类项得：，
系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下：
【点睛】
题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
21．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过55万元．这批计算机最少有多少台？
【答案】最少有105台
【解析】
【分析】
设这批计算机有x台，根据题意可得，第一个月和第二个月销售款总额超过55万元，列不等式求解．
解：设这批计算机有x台，
由题意得，5500×60+5000（x-60）＞550000，
解得：x＞104．
答：这批计算机最少有105台．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列出不等式求解．
22．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求代数式的值．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据题意先解一元一次不等式，再根据不等式的解集求得最小整数解，将其代入关于的方程中求得的值，进而求得代数式的值．
去括号得：，
化简得：，
解得，
故的最小整数解为，
将代入方程，
解得，
当时，．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，求最小整数解，根据方程的解求参数，根据字母的值求代数式的值，正确的计算是解题的关键．
23．在等式（k，b为常数）中，当时，；当时，．
（1）求k与b的值；
（2）若关于x的不等式的解集是，求n的值．
【答案】（1）；（2）－3
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于k、b的方程组，解之可得；
（2）解关于x的不等式，得，再由该不等式的解集是，由（1）得b=1，知，解之可得．
（1）根据题意得
解得．
（2）解不等式，得．
∵该不等式的解集是，而，
∴，
∴，
解得：，
∴n的值为．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组与不等式的解集，掌握二元一次方程组的解法及解一元一次不等式的方法是关键.
24．已知：．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
根据任何数的绝对值与偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则这两个数都是0，即可得到关于、的方程组，求解代入即可得到一个关于的不等式，从而即可得出答案．
解：
解得：
（1）当时，即
解得：
的取值范围为；
（2）当时，即
解得：
的取值范围为．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及解一元一次不等式，根据题意列出方程组是解题的关键．
25．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值．
解：不等式的解集，则最大整数解；
不等式的解集，则最小整数解；
则．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键．
26．某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
（1）若该商场购进这批台灯共用去2750元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？
【答案】（1）购进A种新型节能台灯20盏，购进B种新型节能台灯30盏；（2）至少购进B种台灯27盏
【解析】
【分析】
（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，根据总价=单价×数量结合该商城用2750元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50-m）盏，根据总利润=单盏利润×数量结合总利润不少于1400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，
依题意，得：，
解得：
答：购进A种新型节能台灯20盏，购进B种新型节能台灯30盏．
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50-m）盏，
依题意，得：（60-40）（50-m）+（100-65）m≥1400，
解得：m≥．
∵m为正整数，
∴m的最小值为27．
答：至少购进B种台灯27盏．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．当m，n都是实数，且满足2m-n=8时，我们称Q（m + 2，n）为“巧妙点”．
(1)点A（a + 2，b）是“巧妙点”，且a > 2，求b的取值范围；
(2)已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点是“巧妙点”？
【答案】(1)b>-4
(2)t=
【解析】
【分析】
（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
(1)
解：（1）由题意得：2a-b=8，
解得：a=，
∵a>2，
∴，
解得；b>-4；
(2)
解：，
由①-②，得y=1-t，
把y=1-t代入②，得x=1+2t，
∴,
∴B（1+2t,1-t），
∵点B是“巧妙点”，
∴m+2=1+2t，n=1-t，
∴m=2t-1,
∴2（2t-1）-(1-t)=8，
解得：t=．
答：当t＝时，以方程组的解为坐标的点B是“巧妙点”．
【点睛】
此题考查了新定义，解不等式，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
28．定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
【答案】(1)-10
(2)
(3)或；
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给新定义求解即可；
（2）根据题意可得，解不等式即可；
（3）分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可；
（4）先证明，然后根据新定义结合整数的加减计算法则求解即可．
(1)
解：∵，
∴，
故答案为：-10；
(2)
解：∵，
∴，
解得，
故答案为：；
(3)
解：当，即时，
∴，
∴，
解得；
当，即时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
(4)
解：当，
∴，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
第18讲 一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
例1．下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【解析】
【分析】
对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
例2．下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【答案】C
【解析】
【分析】
解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
例3．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
例4．在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
解：x﹣2＞2x，
解得：x＜﹣2，
故符合题意的有：﹣4，﹣共2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
例5．在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．
-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；
是整式，不是一元一次不等式；
x=3是方程，不是一元一次不等式；
x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；
x≠5是一元一次不等式；
x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；
∴是一元一次不等式的有1个
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．
例6．若是关于的一元一次不等式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义得出a＋1≠0，|a|＝1，求解即可．
解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴a＋1≠0，|a|＝1，
解得：a＝1，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出a＋1≠0，|a|＝1．
例7．不等式的解集，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可．
解： ，
在数轴上表示其解集如下：
故选C
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“大于向右拐，小于向左拐的画图方法”是解本题的关键．
例8．不等式的非负整数解的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据x＜4不等式，写出非负整数解，注意：非负整数是指正整数和零，不要把零忘记了．
不等式x＜4的非负整数解有3，2，1，0，共4个．故选A．
【点睛】
本题是一道有关非负整数的题目，解题的关键掌握非负整数的概念；
例9．解不等式的步骤如图所示，则在每一步变形中，依据“不等式的基本性质”有（ ）
解：①
②
③
④
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图及不等式的性质可直接进行排除选项．
解：由题意得：步骤②④依据了“不等式的基本性质”；
故选D．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质及一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质及一元一次不等式的解法是解题的关键．
例10．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式两边都乘以6即可得解.
解:不等式两边都乘以6得，
故选: D.
【点睛】
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; .
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
例11．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
求出不等式的解集，对应即可得出答案．
解：，
解得，
，
解得，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是根据两不等式解集相同得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用解不等式的知识解出不等式是关键．
例12．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（ ）
A．每人分8本，则剩余 5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人
C．每人分5本，则剩余 8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的意义即可求解．
解：由可知条件为：每人分8本，则恰好可多分给5个人．
故选：B
【点睛】
本题主要考查不等式的意义，学生们熟练掌握即可求解．
例13．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由，可取，然后求出M、N、P的值，再进行比较即可.
解：根据题意，∵，
∴取，
则，，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练利用赋值法求出M、N、P的值，然后进行比较.
例14．关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
例15．关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，可令，（a为正整数），根据解不等式的步骤即可求解．
解：不等式，即，其解集为，
故，，且，
令，（a为正整数），代入不等式，
得，
移项合并得，
∵a为正整数，
∴，
即不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了求不等式的解集，掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
例16．若方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解关于的方程，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求解．
去括号得
移项，合并同类项得
解得
方程的解是负数，
解得．
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解题意求得的值是解题的关键．
一、单选题
1．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的解集表示方法即可求解．
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点
∴x＞﹣2
故选：D．
【点睛】
此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
A、小于5的整数有无数个，正确；
B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
3．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义作出判断．
解：①；③；④三个不等式中，未知数只有1个，且未知数的最高次数为1次，所以3个都是一元一次不等式；
②，未知数的次数为-1，不是1，所以不是一元一次不等式；
⑤是一个不含未知数的不等式，所以不是一元一次不等式．
故选C．
【点睛】
本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的意义是解题关键．
4．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
由，解得：，
A、由，解得：，故符合题意；
B、由，解得：，故不符合题意；
C、由，解得：，故不符合题意；
D、由，解得：，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键．
5．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式求出其解集，然后由数轴可得不等式的解集为x≤﹣1，进而可得关于a的方程，解方程即得答案．
解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得，
由不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1，
所以，解得：a=﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
6．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-5
【答案】B
【解析】
【分析】
求出不等式2x+5＜1的解集，再求出不等式4x+1＜x-m的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
解：解不等式2x+5＜1得：x＜-2，
解关于x的不等式4x+1＜x-m得，
∵不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x-m成立，
∴≥-2，
解得：m≤5，
故选：B．
【点睛】
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键．
7．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先解出不等式，根据已知条件求出m，n的式子计算即可；；
解不等式得，
，
∵，
∴，
得到：，
解得：，
整理不等式，
得，
解得：．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键．
8．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（ ）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
【答案】C
【解析】
【分析】
设这件商品的进价为x元，首先根据题意列出方程求出商品的进价，然后求出盈利的最低价格，从而用两个价格作差即可得出答案．
设这件商品的进价为x元，根据题意得，
，
解得 ，
盈利的最低价格为（元），
∴商店老板最多会降价（元），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，能够求出商品的进价及盈利的最低价格是解题的关键．
9．若方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是正数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围．
原方程可整理为：3mx＋3m＋1＝3m−mx−5x，（3m＋m＋5）x＝−1，两边同时除以（4m＋5）得，x＝，
∵方程3m（x＋1）＋1＝m（3−x）−5x的解是正数，
∴＞0，
∴4m＋5＜0，
解得：．
故选：D
【点睛】
本题考查一次方程与不等式，解关于x的不等式是解题的关键．
10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
①②得：
∴
将代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
二、填空题
11．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|-1=1，且m+2≠0，
解得：m=-2（舍去）或m=2，
则m的值为2，
故答案为2.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
12．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为______．
【答案】-
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以a，不等号的方向改变了．得到不等式的解集为：x≥，又因为它的解集是x≥-4，所以=-4，即可解得a的值．
∵不等式ax≤2的解集是x≥-4，
∴a＜0；
解不等式得：x≥，
∴=-4，
解得a=−，
故答案为−．
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
13．不等式①，②，③，④，⑤，⑥中一元一次不等式是________．（只填序号）
【答案】②⑥
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
解：①，含有两个未知数，不合题意；
②，是一元一次不等式，符合题意；
③，不等式左边是分式，不符合题意；
④，未知数次数不为，不符合题意；
⑤，即为，不符合题意；
⑥，是一元一次不等式，符合题意；
故答案为：②⑥．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的定义，熟知定义是解本题的关键．
14．有下列说法:①x=是不等式4x-5>0的解;②x=是不等式4x-5>0的一个解;③x>是不等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解集.其中正确的是__.(填序号)
【答案】②③
【解析】
【分析】
分别解①②③④中的不等式，再根据不等式的解去判断正误.
4x-5>0 故x=不是不等式4x-5>0的解;
② x=是不等式4x-5>0的一个解;
③x>是不等式4x-5>0的解集;
④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,但不是它的解集.
【点睛】
此题重点考查学生对不等式解的理解，掌握不等式的解法是解题的关键.
15．杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有______种购买方案．
【答案】3
【解析】
【分析】
设购买篮球个，足球个，根据“篮球购买的数量不少于40个， 学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为 10260元”，列出不等式组，求出的取值范围，由为正整数，即可解答；
解：设篮球购买个，则足球购买个，由题意得：
，
解得：，
为正整数，
取 40，41，42．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次不等式组，解出的取值范围，再利用为整数进行排除．
16．，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质可得是非负数，据此即可得到不等式，从而求解．
根据题意得：⩾0，
解得：
故答案是：
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，绝对值，解题关键在于利用绝对值的非负性．
17．当________时，代数式的值是非负数．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，列出不等式解不等式即可．
依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
三、解答题
19．试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）是不等式的一个解；
（2），，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有，，0；
（5）不等式的解中不含0．
【答案】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） （3）（答案不唯一） （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以；
（2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以；
（3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以；
（4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以；
（5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以．
（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（2）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（3）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（4）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
（5）满足题意的不等式为（答案不唯一）；
【点睛】
本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念．
20．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）；
（7）；
（8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解
【解析】
【分析】
（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
解：
（1），
解得：；解集在数轴上表示如下：
（2），
移项得：，
化简得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（3），
去分母得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（4），
移项得：，
合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（5），
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（6），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（7），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（8），
移项合并同类项得：，
系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下：
【点睛】
题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
21．电脑公司销售一批计算机，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月起降价，以5000元/台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过55万元．这批计算机最少有多少台？
【答案】最少有105台
【解析】
【分析】
设这批计算机有x台，根据题意可得，第一个月和第二个月销售款总额超过55万元，列不等式求解．
解：设这批计算机有x台，
由题意得，5500×60+5000（x-60）＞550000，
解得：x＞104．
答：这批计算机最少有105台．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列出不等式求解．
22．已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求代数式的值．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据题意先解一元一次不等式，再根据不等式的解集求得最小整数解，将其代入关于的方程中求得的值，进而求得代数式的值．
去括号得：，
化简得：，
解得，
故的最小整数解为，
将代入方程，
解得，
当时，．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，求最小整数解，根据方程的解求参数，根据字母的值求代数式的值，正确的计算是解题的关键．
23．在等式（k，b为常数）中，当时，；当时，．
（1）求k与b的值；
（2）若关于x的不等式的解集是，求n的值．
【答案】（1）；（2）－3
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于k、b的方程组，解之可得；
（2）解关于x的不等式，得，再由该不等式的解集是，由（1）得b=1，知，解之可得．
（1）根据题意得
解得．
（2）解不等式，得．
∵该不等式的解集是，而，
∴，
∴，
解得：，
∴n的值为．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组与不等式的解集，掌握二元一次方程组的解法及解一元一次不等式的方法是关键.
24．已知：．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
根据任何数的绝对值与偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则这两个数都是0，即可得到关于、的方程组，求解代入即可得到一个关于的不等式，从而即可得出答案．
解：
解得：
（1）当时，即
解得：
的取值范围为；
（2）当时，即
解得：
的取值范围为．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及解一元一次不等式，根据题意列出方程组是解题的关键．
25．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值．
解：不等式的解集，则最大整数解；
不等式的解集，则最小整数解；
则．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键．
26．某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
A型
B型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
（1）若该商场购进这批台灯共用去2750元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B种台灯多少盏？
【答案】（1）购进A种新型节能台灯20盏，购进B种新型节能台灯30盏；（2）至少购进B种台灯27盏
【解析】
【分析】
（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，根据总价=单价×数量结合该商城用2750元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50-m）盏，根据总利润=单盏利润×数量结合总利润不少于1400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：（1）设购进A种新型节能台灯x盏，购进B种新型节能台灯y盏，
依题意，得：，
解得：
答：购进A种新型节能台灯20盏，购进B种新型节能台灯30盏．
（2）设购进B种新型节能台灯m盏，则购进A种新型节能台灯（50-m）盏，
依题意，得：（60-40）（50-m）+（100-65）m≥1400，
解得：m≥．
∵m为正整数，
∴m的最小值为27．
答：至少购进B种台灯27盏．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．当m，n都是实数，且满足2m-n=8时，我们称Q（m + 2，n）为“巧妙点”．
(1)点A（a + 2，b）是“巧妙点”，且a > 2，求b的取值范围；
(2)已知关于x，y的方程组，当t为何值时，以方程组的解为坐标的点是“巧妙点”？
【答案】(1)b>-4
(2)t=
【解析】
【分析】
（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
(1)
解：（1）由题意得：2a-b=8，
解得：a=，
∵a>2，
∴，
解得；b>-4；
(2)
解：，
由①-②，得y=1-t，
把y=1-t代入②，得x=1+2t，
∴,
∴B（1+2t,1-t），
∵点B是“巧妙点”，
∴m+2=1+2t，n=1-t，
∴m=2t-1,
∴2（2t-1）-(1-t)=8，
解得：t=．
答：当t＝时，以方程组的解为坐标的点B是“巧妙点”．
【点睛】
此题考查了新定义，解不等式，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
28．定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
【答案】(1)-10
(2)
(3)或；
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给新定义求解即可；
（2）根据题意可得，解不等式即可；
（3）分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可；
（4）先证明，然后根据新定义结合整数的加减计算法则求解即可．
(1)
解：∵，
∴，
故答案为：-10；
(2)
解：∵，
∴，
解得，
故答案为：；
(3)
解：当，即时，
∴，
∴，
解得；
当，即时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
(4)
解：当，
∴，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
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