【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第01讲《集合的表示及集合之间的关系》同步讲学案

第一讲  集合的表示及集合之间的关系

【教学目标】

1. 理解集合的有关概念，掌握元素的互异性和常见数集符号；

2. 知道集合的表示方法，掌握数集和点集的区别，并会用区间表示数集；

3. 学会借助文氏图和数轴等图形语言，理解和辨识集合之间的包含关系与相等关系.

【重难点】1. 元素的互异性；2. 集合的描述法；3. 空集.

知识梳理

【难度系数：★   参考时间：30 min】

（一）集合的有关概念

1. 我们经常要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类. 例如：（1）上海加里敦CP大学二次元专业的学生；（2）农药国服榜一的小姐姐；（3）不等式的所有解. 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集. 集合通常用大写字母、、表示.

2. 集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element）. 元素通常用小写字母、、表示.

3. 元素与集合的关系；（1）如果是集合的元素，就记作，读作“属于”；

（2）如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”.

4. 集合的元素的特征

（1）确定性：给定一个集合，一个对象在不在这个集合中就确定了.

（2）互异性：一个元素在同一个集合中是不能重复出现的.

（3）无序性：集合中的元素没有固定的先后顺序，两个集合只要元素相同，就是同一个集合.

5. 常用数集及符号

【猜一猜】分别是什么含义？
6. 集合的分类：有限集（finite set），无限集（infinite set）.

特别地，不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作. 引进空集是有必要的. 例如，方程没有实数解，我们就说它的实数解组成的集合是空集. 又如，当两条直线平行时，他们没有公共点，就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集. 在以后学习交集时，我们还将进一步体会到引入空集的必要性.

例1. 用符号、填空：

（1）0____；         （2）0____；         （3）0____；

（4）0____；          （5）____；       （6）_____.

（二）集合的表示方法

除了用自然语言来描述集合，我们还常用列举法和描述法来表示集合.

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.

例如，方程的所有解组成的集合可以表示为，也可以表示为. 这是因为在讨论集合时，不考虑其元素的顺序.

说明：列举法通常用于表示有限集，但对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也

可用列举法表示. 例如全体正偶数组成的集合可以表示为.

（2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即

满足性质.

例如，方程的所有解组成的集合可以表示为. 又如，一次函数图像上的所有点组成的集合可以表示为.

例2. 用适当的方法表示下列集合：

（1）大于0且不超过10的全体偶数组成的集合；

（2）被3除余2的自然数全体组成的集合；

（3）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合.

数学中，常常需要表示满足一些不等式的的全部实数所组成的集合，为了方便起见，我们引入区间的概念.

当且时，规定：

（1）满足不等式的全部实数所组成的集合称为一个闭区间，记为.

（2）满足不等式的全部实数所组成的集合称为一个开区间，记为.

（3）满足不等式或的全部实数所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记为，.

这里的实数统称为这些区间的端点.

此外，满足不等式，，，的全部实数所组成的集合可分别用区间符号表示为，，，.

实数集可用区间表示为.

例3. 用区间表示下列集合：（1）；   （2）不等式的所有解组成的集合.

（三）集合之间的关系

1. 集合之间的“包含”关系：

考察，，容易发现，集合的每个元素都属于集合.

如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集（suBset）.

2. 集合之间的 “相等”关系：

且，则和中的元素是一样的，因此，即.

结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即；（2），且，则.
例4. 确定整数，使.

例5. 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：

（1）与；

（2）与.

3. 真子集的概念

若集合，至少有一个元素且，则称集合是集合的真子集（proper subset）.

记作：（或）

读作：真包含于（或真包含）

结论：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

例6. 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集.

例7. 设，，试求集合，使且.

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 判断下列语句是否正确

（1）大于5的自然数可以构成一个集合；

（2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素；

（3）所有的偶数构成的集合是无限集；

（4）集合则集合和集合是两个不同的集合.

2. 用符号、或、、填空.

（1）        （2）          （3）        （4）      

（5）若，则               （6）      

（7）                                  （8）      

3. 用适当的方法表示下列集合.

（1）写出一次函数与的交点组成的集合.

（2）写出一次函数与二次函数的交点组成的集合.

【思考】与区别是什么？

（3）绝对值等于3的全体实数构成的集合.

（4）大于0的偶数.

4. 已知集合，列出的非空真子集.

5. 集合，用列举法表示集合.

6. 集合中只有一个元素，求的值.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 下列表述中正确的有               .

①；②； ③；

④；  ⑤；        ⑥

2. 用描述法可将集合表示成                           .

3. 已知，，若，则实数           .

4. 现有三个实数的集合，既可以表示为，也可以表示为，则      .    

5. 已知集合用列举法表示集合为                  .

6. 已知集合，，，，且、，，则下列判断不正确的是………………………………………………………………………………………（      ）

A.           B.           C.           D.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 满足的集合的个数为_________.

2. 若，则实数k的取值范围是…………………………………………………… （      ）

A.             B.        

C.            D.

3. 求集合中，元素应满足的条件.

4. 设集合，.

（1）若，，试确定集合与集合的关系；

（2）若，，试确定集合与集合的关系.

5. 已知集合满足条件：若，则. 若，试把集合中的所有元素都写出来.

6. 已知集合，，若，求实数的取值范围.

7. 若，，，. 求：

（1）使的的值；    

（2）使，的的值；  

（3）使的的值.   

8. 已知集合A满足条件：①；②若，则.

（1）若，求集合A；

（2）若，求证：；

（3）在集合A中的元素的个数能否只有一个实数？若有，求出此集合；否则，请说明理由.

D组  综合训练

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

1. 有两组集合①A={2，3}，B={3，2}；②A={(2，3)}={(3，2)}，哪组集合是相等的___________.

2. 集合{1，2，3，4}中任意两个不同元素之和组成的集合为              .

3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是              .

4. 方程组的解集是…………………………………………………………………… （       ）

A.  B.  C.  D.

5. 若集合，则下列说法中正确的是………………………………………………… （       ）

A. A可取全体实数                    B. A可取除去0以外的所有实数

C. A可取除去3以外的所有实数        D. A可取除去0和3以外的所有实数

6. 已知. 根据下列条件，求实数的值构成的集合.

（1）当；

（2）当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；

（3）当M是两个元素的集合.

7. 用另一种方法表示集合：

（1）；      （2）；

（3）；     （4）；     （5）.

8. 已知集合，，若，求实数p的取值范围.