【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第05讲《等式与不等式的性质》同步讲学案

第五讲  等式与不等式的性质

【教学目标】

1. 掌握等式的性质和方程的解集；

2. 理解一元二次方程根与系数的关系，并会应用韦达定理求值；

3. 掌握不等式的性质，利用不等式的性质比较两实数的大小或证明简单的不等式.

一、应知应会

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 例如，在上图中，点表示实数，点表示实数，点在点右边，那么. 我们再看上图，表示减去所得的差是一个大于的数即正数. 一般地：若，则是正数；逆命题也正确. 类似地，若，则是负数；若，则，它们之间是等价的. 即：

；

；

.

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. 由此出发，我们还可以证明不等式的基本性质.

二、知识梳理&典型例题

【难度系数：★★   参考时间：45 min】

（一）等式的性质

1. 用等号“”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式（equAlity）.

2. 等式的性质：（1）传递性 ，且   （2）加（减）法性质  

（3）乘法性质

3. 乘法公式

（1） （2）  （3）

（4）   （5）

（6）               （7）
例1. 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.

（1）如果，且，那么；   （2）如果，且，那么；

（3）如果，那么；              （4）如果，那么，其中是正整数；

（5）如果，那么；                （6）如果，那么.

例2. 计算：（1）    （2） 

（3）         （4）

例3. 分解因式：（1）   （2）

（二）方程的解集

我们知道，含有未知数的等式称为方程（equation）. 使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解（solution of an equation）. 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集（solution set of an equation）.

例4. 设、，求关于的方程的解集.

例5. 设，求关于与的二元一次方程组的解集.      

（三）一元二次方程的解集及根与系数的关系

1. 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根（root）. 如果一元二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做重根（double root）. 重根在解集中只能出现一次.

例6. 求一元二次方程（）的解集.

2. 韦达定理：若一元二次方程（）的两根为，，则

，.

【注】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断.

例7. 若和分别是一元二次方程的两根，求下列各式的值：

（1）；        

（2）；      

  (3) .

例8. 已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由.

（四）不等式的性质

1. 不等式的性质：（1）传递性：如果，，那么；（2）加法性质：如果，那么；

（3）乘法性质：如果，那么；如果，那么.

例9. （1）已知，，求证：；

（2）已知，求证：.

例10. （1）已知，，求证：；

（2）已知，求证：，其中为正整数.

2. 定理：对于任意的实数和，总有

，

当且仅当时等号成立.

例11. 设是实数，比较与的值的大小.

【注】作差法的的大致步骤是：作差——变形——判断正负.

变形主要有以下几种情况①整式通常分解因式；②分式通常通分；③无理式通常进行有理化.

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：15 min】

1. 若、、、是实数，则下列是真命题的是__________. （填所有真命题的序号）

①如果，且，那么；

②如果，那么或；

③如果，那么；

④如果，那么，其中n是正整数.

2. 若是一个完全平方式，则实数k的值是__________.

3. 设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则__________.

4. 若集合只有一个元素，则实数________.

5. 若，，则以实数m、n为根的一个一元二次方程是________________.

6. 若，则__________0；__________1. （选填“>”或“<”）

7. 设，，则按由大到小的顺序排列为                         .

8. 若，，则的取值范围是         .

9. 若，，则、的大小关系是__________.

10. 若，则的取值范围__________.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 若、是方程的两个实数根，则的值是…………………………… （    ）

A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024

2. 若、、、均为实数，且，，则下列不等式中成立的是……………… （    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若“且”，则与此判断等价的是………………………………………………………… （    ）

A. 且  B. 且

C. 且  D. 且

4. 已知均为实数，有下列命题①若，则  ②若，，则  ③若， ，则. 其中真命题的个数是…………… （    ）

. 0          . 1          . 2          . 3

5. 设，则不等式等价于…………………………………………………… （    ）

A. 或       B.

C. 或             D. 或

6. 已知，则的范围为              .

7. 均为实数，使不等式和都成立的一组值是                 . （只要写出适合条件的一组值即可）

8. 解关于x的不等式：，其中、且、.

9. 将下列各式因式分解：

（1）；          （2）；         （3）.

10. 若与互为相反数，试求的值.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★    参考时间：20 min】

1. 已知，求证：.

2. 设，且，，求的取值范围.

3. 已知.

（1）求关于x的方程的解集A；

（2）若，关于x的方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B.

4. 已知关于x的方程.

（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根；

（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值；若没有，请说明理由.

5. 设，. （1）证明：介于与之间；（2）判断哪个更接近于，并说明理由.

D组  综合训练

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 已知是实数，则代数式的最小值是            .

2. 计算              .

3. 已知，则的值是           ，的值是          .

4. 已知代数式能在整数范围内分解因式，则整数的值有…………………… （      ）

A. 2个       B. 4个       C. 6个          D. 8个

5. 已知是完全平方数，则下一个完全平方数是……………………………………………… （      ）

A.          B.         C.         D.

6. 已知关于的方程：.

（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根；

（2） 若这个方程的两个实根满足，求m的值及相应的、.

7. 已知是整数，，证明：也能写成两个整数的平方和形式.