【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第13讲《一次函数的应用》预习讲学案

第13讲 一次函数的应用

【学习目标】

1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；

2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；

3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；

4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．

【基础知识】

一．一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．

二．一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．

（3）用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．

【考点剖析】

一．一次函数的应用（共4小题）

1．（2022春•周村区期中）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克？

2．（2022春•大竹县校级期中）如图表示小华骑自行车离家的距离y（千米）与时间t（时）的关系．他9时离开家，15时回家．请根据图象回答下列问题：

（1）小华到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

（2）他何时开始第一次休息？休息多长时间？

（3）第一次休息时，离家大约多远？

（4）11时到12时，他大约骑了多少千米？

（5）他可能在哪段时间休息，并吃午餐？

（6）返回时的平均速度是多少？

3．（2021秋•任城区校级期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　   　元；甲复印社每张收费是 　   　元；

（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；

（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；

（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

4．（2021秋•扶风县期末）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了yml水．

（1）试写出y与x之间的函数关系式？

（2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？

二．一次函数综合题（共4小题）

5．（2022春•杨浦区校级期中）如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）在x轴上有一点Q，若△AQC的面积为8，求点Q的坐标；

（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在线段CA上有一动点E，联接OE，以OE为一边作正方形OEMN，请直接写出正方形OEMN的最小面积值是多少？

6．（2021春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求OC的长；

（3）设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）

7．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是第一象限直线y＝﹣x+6上的点，点A（5，0），O是坐标原点，△PAO的面积为S．

（1）求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，并画出函数图象；

（2）当点P的横坐标为2时，△OAP的面积为多少？

（3）当△OAP的面积为5时，求点P的坐标；

（4）△OAP的面积能大于15吗？为什么？

8．（2020秋•南海区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y＝kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．

（1）证明：直线y＝kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；

（2）当直线y＝kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；

（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2022•渭滨区一模）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：

设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 

C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800

2．（2022•石家庄模拟）甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2022•汉阳区模拟）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，而后只出水不进水，直到水全部排出．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．每分钟的进水量为5升 

B．每分钟的出水量为3.75升 

C．OB的解析式为y＝5x（0≤x≤4） 

D．当x＝16时水全部排出

4．（2021秋•郑州期末）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇，若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图，则A、B两地之间的距离为（　　）千米．

A．150 B．300 C．350 D．450

5．（2021秋•大东区期末）弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过A（﹣20，0），B（20，20）两点，则弹簧不挂物体时的长度是（　　）

A．9cm B．10cm C．10.5cm D．11cm

6．（2022春•将乐县期中）如图，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则图中显示的他们行进的速度关系是（　　）

A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定

二．填空题（共7小题）

7．（2022•历城区二模）如图，已知A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，甲乙两人离A地的距离（千米）与甲所用时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为 　   　．

8．（2022•新都区模拟）有一个容积为2升的圆柱形开口空瓶，小明以0.8升/秒的速度匀速向空瓶注水，注满后停止，等3秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水，设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，y与x的函数关系图象如图所示，则图中a＝　   　；b＝　   　．

9．（2022春•唐河县月考）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+18，如果某一温度的摄氏度数是40℃，那么它的华氏度数是 　   　℉．

10．（2021秋•龙泉市期末）小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 　   　．

11．（2021秋•亳州期末）弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间是一次函数关系，其图象如图所示，则弹簧本身的长度为 　   　．

12．（2022春•东城区期中）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．在第 　   　天后植物的高度不变，该植物最高为 　   　厘米．

13．（2022春•平遥县期中）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是 　   　．

三．解答题（共5小题）

14．（2021•惠山区校级三模）现有一辆装满防疫物资的大货车从A地沿一直线公路以60千米/小时的速度匀速驶向B地，B地志愿者协会在得到消息后决定派出志愿者车队前去接收大货车物资，志愿者的私家车车队出发时比大货车晚1个小时，车队匀速行驶途中接到志愿者协会中心电话，由原接收大货车物资改为接收从A地发出的另一批滞后物资，大货车物资按原计划送达B地．志愿者车队在遇到滞后物质后，立刻停车装卸搬运共花费1个小时，然后掉头按原速原路返回B地（掉头时间忽略不计），并与大货车同时到达B地．已知大货车和志愿者车队与B地之间的距离y（千米）与志愿者车队所用时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：

（1）A、B两地之间相距 　   　千米；志愿者车队的速度是 　   　千米/小时；

（2）求志愿者车队遇大货车并鸣笛致敬时，大货车离出发地有多远；

（3）当大货车与志愿者车队相距30千米时，大货车出发多长时间？

15．（2021春•南阳期中）汛期到来，一水库的水位在某段时间内持续上涨，下表记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间（h），y表示水位高度（m）．

（1）观察表格中的数据，求出这段时间内最符合表中数据的函数解析式；

（2）解释（1）中函数解析式内所含常量的实际意义．

16．（2021春•漳平市月考）2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，下列表格是成都当日海拔高度h（千米）与相应高度处气温t（℃）的关系（成都地处四川盆地，海拔高度较低，为方便计算，在此题中近似为0米）．

根据上表中的信息，回答以下问题：

（1）海拔5千米的上空气温约为 　   　℃；

（2）请写出当日气温t与海拔高度h的函数解析式，并求当海拔高度是10千米时的气温是多少？

17．（2021秋•兴平市期中）狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．

（1）y与x之间的关系式为 　   　；

（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？

（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？

18．（2021秋•会宁县期中）（1）已知y﹣2与x成正比例，当x＝3时，y＝1，求y与x的函数表达式．

（2）某位同学的卧室有25平方米，共用了64块正方形的地板砖，问每块砖的边长是多少？