【暑假小初衔接】北师大版数学六年级（六升七）暑假预习-1.3《截一个几何体》讲学案

✰1.3 截一个几何体

截一个几何体

（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．

（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．

正方体的截面形状不可能是（       ）

【答案】D

【解析】

【分析】

正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．

【详解】

解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．

故选：D．

用一个平面去截一个圆柱所得截面不可能是（　　）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况．

【详解】

解：本题中用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形，斜切是椭圆，唯独不可能是三角形．

故选A

用一个平面去截三棱柱，可能截出以下图形中的（    ）

①等腰三角形；②等边三角形；③圆；④正方形；⑤梯形．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可．

【详解】

解：当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形，故①②正确；

当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是正方形，故④正确；

当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形，故⑤正确；

不可能截出圆．

故选：C．

用一个平面去截一个长方体，截面形状不可能是（       ）

【答案】D

【解析】

【分析】

长方体有六个面都是平面，由此可以作出判断．

【详解】

解：长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，故此截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形，

故选：D．

用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的（       ）

①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方体的截面形状判断即可．

【详解】

解：正方体的截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形，不可能是七边形，

则用一个平面去截正方体，截面可能是下列图形中的三角形，四边形，五边形，六边形，

故选：A．

若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．

【详解】

①用平面截三棱柱时，可以得到三角形截面.

②当平面平行于三棱锥的任意面时，得到的截面都是三角形.

③当平面经过正方体的三个顶点时，所得到的截面为三角形.

④当平面沿着母线截圆锥时，可以得到三角形截面.

⑤用平面球时，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．

故答案为:①②③④．

本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（       ）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，即可求解

【详解】

如图，

因为四棱柱共有5个面，

用平面去截三棱柱时最多与5个面都相交得五边形，最少与三个面相交得三角形，则

故选C

用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是（　　）

【解题思路】根据圆柱体的主视图只有矩形或圆，即可得出答案．

【解答过程】解：∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，

∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱．

故选：A．

用一个平面去截一个棱柱，截面的边数最多是8，则这个棱柱有____条棱.

【答案】18

【解析】

【分析】

用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，最少与三个面相交得三角形．因为截面的边数最多是8，所以棱柱有8个面，这是个六棱柱，一个n棱柱，其棱的数量由多边形的边数或顶点数来决定．底面多边形是n条边，则上下两个底面有棱（边）2n条，侧棱有n条，一共有棱3n条．由此可见，六棱柱的棱数是18条．

【详解】

解：∵用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，截面的边数最多是8，

∴棱柱有8个面，是六棱柱，有18条棱．

故答案为：18．

下列几何体：①球；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤正方体，用一个平面去截上面的几何体，其

中能截出圆的几何体有（　　）

【解题思路】根据几何体的形状，可得答案．

【解答过程】解：长方体、正方体不可能截出圆，

球、圆柱、圆锥都可截出圆，

故选：B．

用一个平面去截一个几何体，得到的截面是七边形，这个几何体可能是（　　）

【解题思路】分别得到几何体有几个面，再根据截面是七边形作出选择．

【解答过程】解：∵圆柱体有三个曲面，四棱柱和正方体有6个面，五棱柱有7个面，

∴只有五棱柱可能得到一个七边形截面．

故选：B．

如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（　　）

【解题思路】如图截去一个角后得到面增加一个，棱增加3．

【解答过程】解：原来正方体的面数为6，增加1变为7；原来正方体的棱数为12，增加3变为15，故选C．

用不同的方法将长方体截去一个角，在剩下的各种几何体中，顶点最多的个数以及棱数最少的条

数分别为（　　）

【解题思路】可考虑三个面切一个小角的情况．

【解答过程】解：依题意，剩下的几何体可能有：

7个顶点、12条棱、7个面；

或8个顶点、13条棱、7个面；

或9个顶点、14条棱、7个面；

或10个顶点、15条棱、7个面．

如图所示：

因此顶点最多的个数是10，棱数最少的条数是12，

故选：C．

我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．

（1）请写出截面的形状；

（2）请计算截面的面积．

【答案】(1)长方形

(2)10

【解析】

【分析】

（1）由图可得截面的形状为长方形；

（2）根据小正三棱柱的底面周长为3，求出底面边长为1，根据高是10，即可求出截面面积．

(1)

解：由图可得截面的形状为长方形；

(2)

∵小正三棱柱的底面周长为3，

∴底面边长＝1，

∴截面的面积1×10＝10．

把一根长1.5米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加8平方米，这根钢材原来的体积是多少？

【答案】3立方米

【解析】

【分析】

圆柱截成三段后，表面积增加四个圆柱的底面圆面积，由增加8平方米求出底面积大小，再通过圆柱体积公式求解．

【详解】

解：8÷4＝2（平方米），2×1.5＝3（立方米）．

答：这根钢材原来的体积为3立方米．

一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．

（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？

（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？

（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．

【答案】(1)所得的截面是圆

(2)所得的截面是长方形

(3)360cm2

【解析】

【分析】

(1)用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；

(2)用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；

(3)求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．

(1)

解：所得的截面是圆．

(2)

解：所得的截面是长方形．

(3)

解：当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，

这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，

这个长方形的面积为:10×2×18=360(cm2) ．

答：这个截面面积是360 cm2．

如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积．

【答案】52cm2

【解析】

【分析】

截去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变，根据长方体的表面积公式计算即可求解．

【详解】

解：（2×3+2×4+3×4）×2

＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），

答：剩余几何体的表面积为52cm2．

✰1.3 展开与折叠分类专练

1.下列说法正确的是（       ）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据用平面截一个几何体，从不同的位置截取，得到的截面形状不一定相同，通过分析如何做截面即可得到答案.

【详解】

解：A. 长方体的截面形状也可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；       

B. 棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；

C. “天空划过一道流星”能说明“点动成线”，故该选项正确，符合题意；       

D. 圆柱的截面不一定是长方形，也可能圆形，故该选项不正确，不符合题意；．

故选:C.

2.在一个正方体容器内装入一定量的水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（     ）

【答案】A

【解析】

【分析】

结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可得到三角形、四边形、五边形．

【详解】

根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是椭圆．

故选：A．

3.下列几何体：①圆柱；②长方体；③三棱柱；④球；⑤圆锥；用一个平面截这些几何体，其截面可能是圆的几何体有_____个．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据每一个几何体的截面形状判断即可．

【详解】

解：因为：圆柱，圆锥，球的截面都可能是圆，而长方体，三棱柱的截面只可能是多边形，不可能是圆，

所以：用一个平面截这些几何体，其截面可能是圆的几何体有圆柱，圆锥，球，共有3个，

故答案为：3．

4.用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：①圆，②三角形，③长方形，④五边形，⑤六边形，⑥七边形其中的_____．

【答案】②③④⑤

【解析】

【分析】

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．

【详解】

解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．

故答案为：②③④⑤．

5.（1）用一个平面去截一个三棱柱，截面的边数最多是？

（2）用一个平面去截一个四棱柱，截面的边数最多是？

（3）用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最多是？

（4）用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是？

【答案】（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2.

【解析】

【分析】

本题考查棱柱的截面，关键要理解面与面相交得到线．应考虑各种情况，根据题意，分析截面的边数时，看截线可能经过几个面，即是几边形.

【详解】

（1）用一个平面截三棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形，边数最多是5；

（2）用一个平面截四棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形，边数最多是6；

（3）用一个平面截五棱柱，截面形状可能有:三角形或四边形或五边形或六边形或七边形，边数最多是7；

（4）用平面截棱柱，规律为:

①截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关；

②截面经过几个面，得到的形状就是几边形.

所以:用一个平面去截一个n棱柱，截面的边数最多是(n＋2).

故本题的答案是:（1）5；（2）6；（3）7；（4）n＋2.

6.如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．

（1）根据要求填写表格：

（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；

（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．

【答案】（1）7；9；14；6；8；12；7；10；15；（2）f＋v－e＝2；（3）2016

【解析】

【分析】

（1）根据图形数出即可．

（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．

（3）代入f+v-e=2求出即可．

【详解】

解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，

图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，

图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，

故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．

（2）f+v-e=2．

（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2

∴f+2021-4035=2，

f=2016，

即它的面数是2016．

1.一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．

（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？

（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？

（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．

【解题思路】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；

（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；

（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积

【解答过程】解：（1）所得的截面是圆；

（2）所得的截面是长方形；

（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，

这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，

则这个长方形的面积为：10×2×18＝360（cm2）．

2.如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）

【解题思路】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．

【解答过程】解：如图所示：

根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，

三棱柱的体积5（cm3）．

3.我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．

（1）请写出截面的形状；

（2）请直接写出四边形DECB的周长．

【解题思路】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；

（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长．

【解答过程】解：（1）由题可得，截面的形状为长方形；

（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，

∴DE＝AD＝1，

又∵△ABC是周长为10的等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∴DB＝EC1，

∴四边形DECB的周长＝129．