2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德已知学校食堂中午有种主食、种素菜、种荤菜，小华准备从中选取种主食、种素菜、种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2.  若直线与直线平行，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州，并要求将进酒与望岳默写次序相邻，则不同的默写次序有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

5.  若曲线在点处的切线与直线：垂直，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

6.  记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等比数列的前项和为，且，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  年月，一个面积大约是平方公里的冰山从布伦特冰架脱落，引起了大家对全球变暖的热议某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有名学生，其中名男生名女生，若从中选取名学生参加研讨会，则(    )

A. 选取的名学生都是女生的不同选法共有种
B. 选取的名学生中恰有名女生的不同选法共有种
C. 选取的名学生中至少有名女生的不同选法共有种
D. 选取的名学生中至多有名男生的不同选法共有种

11.  已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知是数列的前项和，，，，则(    )

A.  B. 数列是等比数列
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知等差数列的前项和为，若，则 ______ ．

14.  若圆：与圆：外切，则        ．

15.  在中国空间站某项建造任务中，需名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有______ 种

16.  设函数在区间上有零点，则实数的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知的展开式中前三项的二项式系数和为．
求；
求展开式中的常数项．

18.  本小题分
已知等差数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求．

19.  本小题分
已知函数的两个极值点，满足．
求的值；
求在区间上的最值．

20.  本小题分
如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．

21.  本小题分
已知双曲线的离心率为，是上一点．
求的方程；
已知直线：与交于，两点，为坐标原点，若，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数，．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据分步乘法计数原理，共有种不同的选取方法，
故选：．
根据分步乘法计数原理可求出结果．
本题主要考查排列组合知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据直线与直线平行，
可得，解得，
故选：．
由题意，利用两直线平行的性质，列方程求解即可．
本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，可知，
，
，
．
故选：．
根据题干递推公式逐项代入即可计算出的值．
本题主要考查根据递推公式计算某项的值，考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：默写将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州，并要求将进酒与望岳默写次序相邻，
则不同的默写次序有种，
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题捆绑法，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线与直线：垂直，
，即．
故选：．
求出原函数的导函数，可得函数在处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解．
本题考查导数的几何意义及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为椭圆的左顶点为，右焦点为，
所以，，
因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，
因为直线的倾斜角为，
所以，又，
化简，所以，解得．
故选：．
由条件列关于，，的方程，由此可求离心率．
本题考查椭圆相关性质，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，等比数列中，，则、、、成等比数列，
则有，即，解可得或舍，
又由有，即，解可得．
故选：．
根据题意，由等比数列的性质可得、、、成等比数列，由等比中项的性质先求出的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的前项和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，解得．
故选：．
构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
直接利用导数的运算法则逐一求解四个选项得答案．
本题考查导数的运算，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选取的名学生都是女生的不同的选法共有，故A正确；
选取的名学生中恰有名女生的不同选法共有种，故B错误；
选取的名学生中至少有名女生的不同选法共有种，故C错误；
选取的名学生中至多有名男生的不同选法共有种，故D正确．
故选：．
根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
本题考查了排列组合的实际应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意，抛物线：的准线为，
因为为上一点，且，则，
解得，故A正确；
若，则线的方程为，
代入：，得，整理得，解得或，
因为与分别在轴的两侧，可得；
同理：若，可得；
综上所述：或，故C错误；
可得抛物线：，焦点为，
因为为上一点，则，所以，故B错误；
若，则，则；
同理：若，可得；
故D正确．
故选：．
根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解．
本题考查椭圆的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，，，
，，，，A正确；
对于，由得：，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
对于，由知：，
当时，，
又满足，，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确．
本题主要考查数列递推式，等比数列的性质与通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，等差数列中，
则；
故答案为：．
根据题意，由等差数列前项和公式可得，由此计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆：，即，
圆：，圆心为，半径，
圆：，圆心为，半径，
圆：与圆：外切，
，即，解得．
故答案为：．
根据已知条件，分别求出两圆的圆心与半径，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：满足条件的安排方案可以分为两类，
第一类，每个舱各安排人，共有种不同的方案；
方案二：一个实验舱安排人，一个实验舱人，一个实验舱人，
共有种不同的方案．
所以共有种不同的安排方案．
故答案为：．
安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排人，第二类，分别安排人，人，人，结合分堆分配问题解决方法求解即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则，
函数 在区间上有零点等价于直线与曲线在上有交点，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，，
显然，
，
即当时，函数在上有零点．
故答案为：．
参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，
所以，
即，
解得或舍去，
的展开式中通项为，
由时，可得，即第项为常数项，
所以展开式中的常数项为． 

【解析】写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；
利用通项，并令的指数为，求出常数项．
本题考查二项式定理，属于中档题．
 

18.【答案】解：设数列的公差为，
由，，
得，
解得，，
；
，
；
综上，． 

【解析】根据等差数列公式，运用条件列方程求出，；
运用裂项相消法求解．
本题考查等差数列以及裂项相消法求和，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：，令，则有个零点，，显然，
由韦达定理得，又代入得：，
再代入得：，，符合题意，
；
，得下表：

又，，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
综上，，在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】有个极值点等价于导函数有个零点，根据条件运用韦达定理求解；
根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为点是的中点，，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】易知，结合平面平面，可得平面，再由面面垂直的判定定理，得证；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面垂直的判定定理、性质定理，利用空间向量求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：双曲线的离心率，
，则，
又为上一点，，
解得：，，
双曲线的方程为：．
设，，
由得：，
，则；
，，

，
整理可得：，又，，
则，直线恒过定点． 

【解析】根据离心率、双曲线，，关系和双曲线所过点可构造方程求得，，进而得到双曲线方程；
将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得，由此可得直线所过定点．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意得，
函数在上单调递增，
在上恒成立，
又在上单调递增，则，
故，解得，
故的取值范围是；
证明：，，要证，只需证，
令，则．
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
故当时，，即．
故． 

【解析】对求导后，问题转化为在上恒成立，进而求得的最小值，即可得出答案；
由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．