湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知在处取极小值，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
主命题学校：宜城一中
命题老师：李细迁 刘静 宫经敏 秦孔正
试卷满分：150分考试用时：120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（ ）
A.2B.C.D.
2.下列导数运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A.B.C.D.
4.的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（ ）
A.B.C.D.
5.已知在处取极小值，则（ ）
A.3或1B.3C.1D.或
6.已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ）
A.B.C.D.
7.对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列.若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（ ）
A.为二阶等差数列B.为三阶等差数列
C.D.
8.已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法。商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A.B.
C. D.
10.过抛物线上一点作两条直线，，与E的另一个交点为A，与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（ ）
A.E的准线方程为B.过点M与E相切的直线方程为
C.以为直径的圆与y轴相切D.若，则
11.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A.时，恒成立
B.若有3个零点，则a的取值范围为
C.时.有唯一零点且
D.时，是的极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.，则在处的切线方程为____________.
13.暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是____________.
14.已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）求的展开式中含的项；
（2）若，求：
①；
②.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，底面侧面，，，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角.
17.（本小题满分15分）
已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式，的正整数k的个数，求数列的前n项和.
18.（本小题满分17分）
已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求面积的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数，.
（1）记，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
2023—2024学年下学期高二期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
12. 13.24014.
15，解：（1）展开式中含的项为：
（2）①令得：①
令得：②
得：
得：
②等式两边分别求导得：
令得：
即：
16.解：（1）∵平面平面，平面，
平面平面，，
∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形为菱形，
∴，
∵，，平面，
∴平面.
又平面 ∴
（2）
由（1）知∴∴
∴∴
∵为锐角∴
取中点，则
以C为原点，以、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。如图所示：
则，，
，设平面的法向量为
则取
由（1）知，为平面的法向量
所以，平面与平面的夹角为30°
17.（1）证明∵∴
即∴
∴为等差数列，其首项为1，公差为
∴
∴
（2）由得，
∵
∴满足不等式的正整数k的个数为
∴
①
②
得：
∴
18.（1）设，由题意得：
两边平方得：，化简得
（2）由题意直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
联立
，
则
化简得：，且
若Q在直线的右侧，则
若Q在直线的左侧，
则
∴
∵
∴
∵∴
∴
所以面积的取值范围
19.（1）其定义域为
当即时，
∴增区间为减区间为
当即时为增函数
当即时为增函数
综上时，的增区间减区间
时，的增区间
（2）∵恒成立，，
令，则，
所以当时，等价于恒成立.
由于，，
（ⅰ）当时，，函数在上单调递增，
所以，在区间上恒成立，符合题意；
（ⅱ）当时，在上单调递增，.
①当，即时，，
函数在上单调递增，
所以在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，，
若，即时，在上恒小于0，
则在上单调递减，，不符合题意；
若，即时，存在，使得，
所以当时，，则在上单调递减，
则，不符合题意.
综上所述，a的取值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
A
C
B
A
A
ACD
BCD
BCD