2023年浙江省宁波市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年浙江省宁波市中考数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，π这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．π
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3•x4＝x7
3．（4分）据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.38018×1012 B．3.8018×1011
C．3.8018×1010 D．38.018×1010
4．（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

9
8
9
9
S2
1.2
0.4
1.8
0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
8．（4分）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
10．（4分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣y2＝　 　．
12．（5分）要使分式有意义，x的取值应满足 　 　．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 　 　．
14．（5分）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π）

15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　 　．

16．（5分）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　 　，a的值为 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
18．（8分）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
19．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．

20．（10分）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
21．（10分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

22．（10分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
23．（12分）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
24．（14分）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．

（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值，
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．

2023年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，π这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．π
【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，
∴﹣1＞﹣2，
∴π＞0＞﹣1＞﹣2，
则最小的数为：﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x6÷x3＝x2 C．（x3）4＝x7 D．x3•x4＝x7
【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可．
【解答】解：A、x2和x不是同类项，不能进行合并，故选项不符合题意；
B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、（x3）4＝x12，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、x3•x4＝x7，运算计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则，解题的关键是熟记相关的运算法则并灵活运用．
3．（4分）据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.38018×1012 B．3.8018×1011
C．3.8018×1010 D．38.018×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：380180000000＝3.8018×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图判断即可．
【解答】解：从正面看，上边是一个长方形，下边也是一个长方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，需掌握：从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图．
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解出每个不等式，取公共解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤1，
∴﹣1＜x≤1，
解集表示在数轴上如图：

故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
6．（4分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：

甲
乙
丙
丁

9
8
9
9
S2
1.2
0.4
1.8
0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．
【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵甲、丙、丁三人中，丁的方差较小，
∴丁发挥最稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D．
【点评】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
7．（4分）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1＞0）的图象与反比例函数y2＝（k2＞0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【分析】根据图象即可．
【解答】解：由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
8．（4分）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．
【解答】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（　　）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧
【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．
【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当x＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为：，
又∵a＞0，
∴，
∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法．
10．（4分）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故选：C．

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣y2＝　（x+y）（x﹣y）　．
【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案是：（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键．
12．（5分）要使分式有意义，x的取值应满足 　x≠2　．
【分析】当分母不等于0时，分式有意义．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握解不等式的方法是解题的关键．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 　　．
【分析】根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，
∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，熟知概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
14．（5分）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　1500π　cm2．（结果保留π）

【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：烟囱帽的侧面积为：×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案为：1500π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键．
15．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　6或2　．

【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD＝6，然后分三种情况讨论：①当AP＝PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′＝AD时，③如图3，当DP′′＝AD时，分别进行求解即可．
【解答】解：如图1，连接OD，DE，
∵半圆O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3．
∴OB2＝BD2+OD2，
∴（OD+3）2＝（3）2+OD2，
解得OD＝6，
∴AO＝EO＝OD＝6，
①当AP＝PD时，此时P与O重合，
∴AP＝AO＝6；
②如图2，当AP′＝AD时，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AC＝10，CD＝2，
∴AD＝＝＝2，
∴AP′＝AD＝2；
③如图3，当DP′′＝AD时，
∵AD＝2，
∴DP′′＝AD＝2，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
过点D作DH⊥AE于点H，
∴AH＝P″H，DH＝DC＝2，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），
∴AH＝AC＝10，
∴AH＝AC＝P″H＝10，
∴AP″＝2AH＝20（E为AB边上一点，不符合题意，舍去），
综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2．
故答案为：6或2．



【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
16．（5分）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为 　12　，a的值为 　9　．

【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A（m，），
∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，
∴E（，）．
∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，
∴B（﹣2m，﹣）．
∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，
∴D（﹣2m，﹣）．
∵△ABE的面积为9，
∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．
∴a﹣b＝12．
∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，
∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．
∴a＝﹣3b．
又a﹣b＝12．
∴a＝9．
故答案为：12，9．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【分析】（1）根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）（1+）0+|﹣2|﹣
＝1+2﹣3
＝0；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点评】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
18．（8分）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．

（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，平移变换的性质作出图形即可；
（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；

（2）如图2，△A′B′C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：

∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
20．（10分）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出一般等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以样本中“良好”等级人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用总人数乘以样本中良好和优秀人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）被调查的总人数为40÷20%＝200（人），
测试成绩为一般的学生人数为200﹣（30+40+70）＝60（人），
补全图形如下：

（2）360°×＝126°，
答：扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为126°；
（3）这组数据的中位数是第100、101个数据的平均数，而这2个数据均落在良好等级，
所以这次测试成绩的中位数是良好；
（4）1200×＝660（人），
答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是计算出抽取的人数，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）设AD＝xm，可得CD＝AD＝xm，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝xm，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝xm，
∵BC＝20m，
∴BD＝（20+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝60，
∴AD＝60（m），
答：气球A离地面的高度AD是60m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
22．（10分）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【分析】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23．（12分）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
【分析】（1）根据邻等四边形定义证明即可；
（2）根据邻等四边形定义利用网格即可画图；
（3）先证明四边形AEBC是平行四边形，得AE＝BC＝DC，设AE＝BC＝DC＝x，得AD＝DE﹣AE＝10﹣x，过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，得AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，所以CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，根据勾股定理得82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，求出x的值，进而可得四边形EBCD的周长．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（2）解：如图2﹣1，2﹣2，点D′、D即为所求；


（3）解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB＝AC＝8，AE＝BC，
∴AE＝BC＝DC，
设AE＝BC＝DC＝x，
∵DE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝10﹣x，
过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，

∴AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，
∴CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：
BE2﹣AE2＝AB2，CD2﹣CF2＝DF2，
∴BE2﹣AE2＝CD2﹣CF2，
∴82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，
整理得x2﹣20x+82＝0，
解得x1＝10﹣3，x2＝10+3（不符合题意，舍去），
∴CD＝CB＝10﹣3，
∴四边形EBCD的周长＝BE+DE+2CD＝8+10+2×（10﹣3）＝38﹣6．
【点评】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义．
24．（14分）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．

（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值，
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【分析】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题；
②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
（3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，

设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH＝＝＝x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，

∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
解得r＝或r＝（舍去），
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．
∴AC的长为．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
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