2023年浙江省丽水市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年浙江省丽水市中考数学试卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（3分）计算a2+2a2的正确结果是（　　）
A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4
3．（3分）某校准备组织红色研学活动，需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅歧红色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）

A． B．1 C． D．
8．（3分）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
9．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　）

A． B． C．2 D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣9＝　 　．
12．（4分）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在5块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：kg）：12，13，15，17，18．则这5块稻田的田鱼平均产量是 　 　kg．
13．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　 　．

14．（4分）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．

15．（4分）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　 　斤．
16．（4分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
18．（6分）解一元一次不等式组：．
19．（6分）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．

20．（8分）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
　 　
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
　 　
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．

21．（8分）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．

22．（10分）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．

23．（10分）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
24．（12分）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．


2023年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）计算a2+2a2的正确结果是（　　）
A．2a2 B．2a4 C．3a2 D．3a4
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：a2+2a2
＝（1+2）a2
＝3a2，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
3．（3分）某校准备组织红色研学活动，需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅歧红色教育基地的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵红色教育基地有4个，
∴选中梅歧红色教育基地的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．（3分）如图，箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据各层耐火砖的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
【解答】解：观察图形可知，几何体的主视图是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（3分）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【分析】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．
【解答】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB＝，然后由勾股定理得OA＝，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝，
∴OA＝＝＝，
∴AC＝2OA＝，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
【解答】解：∵，F＝100，
∴，
∵产生的压强p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　）

A． B． C．2 D．1
【分析】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH，
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFB＝∠G＝90°，
∴△AFB≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG＝GH，
∵AG∥BC，
∴∠C＝∠EDG＝45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1，
∴CH＝1，
由勾股定理得：CE＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4分）青田县“稻鱼共生”种养方式因稻鱼双收、互惠共生而受到农户青睐，现有一农户在5块面积相等的稻田里养殖田鱼，产量分别是（单位：kg）：12，13，15，17，18．则这5块稻田的田鱼平均产量是 　15　kg．
【分析】根据平均数的计算方法进行计算即可求解．
【解答】解：（12+13+15+17+18）÷5
＝75÷5
＝15（kg）．
答：这5块稻田的田鱼平均产量是15kg．
故答案为：15．
【点评】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
13．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　．

【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（4分）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．

【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．
【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下：
∵＝2，
∴a＝2c，
∴＝，
∴b＝c，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝．
故答案为：2．
【点评】本题考查比例线段，关键是由＝2，＝＝，得到b＝c．
15．（4分）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　斤．
【分析】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设原有生丝为x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x＝．
故原有生丝为斤．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．
16．（4分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　25　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．

【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；

（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
【点评】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
【分析】根据实数的相关运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝+1+
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查实数的运算，实数运算的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（6分）解一元一次不等式组：．
【分析】利用一元一次不等式的解法的一般步骤分别求得求得两个不等式的解集，最后确定不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法的一般步骤是解题的关键．
19．（6分）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，则AE＝7m，再由锐角三角函数定义求出AD＝14m，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（8分）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
　20　
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
　3　
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．

【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；
（2）由扇形统计图可直接求脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）根据数据提出一条建议即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：170÷85%＝200（人），
200×10%＝20（人），
200×（1﹣10%﹣85%）﹣7
＝200×5%﹣7
＝10﹣7
＝13（人）．
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
（2）由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×（1﹣10%﹣85%）
＝1600×5%
＝80（人）．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
21．（8分）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．

【分析】（1）根据图图象的交点回答即可；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；
（3）对销售量的范围进行讨论，从而得出正确的方案．
【解答】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二，
若销售量x＝30，则选择两个方案都可以，
若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点评】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．
22．（10分）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画AF⊥DE于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）先证明四边形MBCN为平行四边形，再证明∠N＝90°，从而得出四边形MBCN为矩形．
【解答】解：（1）
；
（2）如图，
；
（3）
矩形，理由如下：
∵∠MDB+∠BDE＝180°，∠DEC+∠NEC＝180°，
∴点M、D、E、N在一条直线上，
∵点D、点E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵MD+EN＝DE，
∴MN＝MD+DE+EN＝BC，MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
由题意可得：△MDB≌△FAD，△AFE≌△CNE，
∴∠N＝∠AFE，
∵AF⊥DE，
∴∠AFE＝90°，
∴∠N＝90°，
∴四边形MBCN为矩形．
【点评】本题主要考查了矩形的判定、中位线的知识、平行四边形的知识，难度不大，认真分析即可．
23．（10分）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【分析】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得．，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
24．（12分）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．

【分析】（1）根据题意可得，再由HC是⊙O的切线，即可求证．
（2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解．
（3）①根据题意，求出AG的长，再由即可求解．
②根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解．
③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，

∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG＝，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，

∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ACD，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴＝．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，

设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF•FM＝OF•GF，
∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
【点评】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．
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