专题五 变量与函数——2023届中考数学公式定律速记清单
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一:平面直角坐标系与函数
坐标系中的距离
(1)点到坐标轴及原点的距离
①到轴的距离;
②到轴的距离;
③到原点的距离.
(2)两点间的距离(设)
①轴,;
②轴,;
③为任意两点,
平面直角坐标系中的平移、旋转与对称
图形变换 | 图示 | 点的坐标规律 |
平移变换 | 左右平移:; 上下平移: | |
对称变换 | 点关于轴对称的点的的坐标为; 点关于轴对称的点的的坐标为; 点关于原点对称的点的的坐标为; 规律:关于谁对称谁不变,另一个变号,关于原点对称都变号 | |
旋转变换 | 点绕点逆时针旋转所得对应点的坐标为 |
自变量的取值范围
整式型 | 自变量的取值范围:任意实数,如中,为任意实数 |
分式型 | 自变量的取值范围:分母不为0,如中, |
二次根式型 | 自变量的取值范围:被开方数大于等于0,如中, |
分式二次根式型 | 自变量的取值范围:分母不为0且被开方数大于等于0,如中,;中,且 |
实际问题中 | 自变量的取值范围:使实际问题有意义 |
二:一次函数
一次函数的图象与性质
图象 | ||||||
经过的象限 | ||||||
一、二、三 | 一、三 | 一、三、四 | 一、二、四 | 二、四 | 二、三、四 | |
增减性 | 随的增大而增大 | 随的增大而减小 | ||||
与坐标轴的交点 | 令,求对应的值,与轴的交点坐标为; 令,求对应的值,与轴的交点坐标为 |
一次函数图象的平移
平移情况 | 解析式变化情况 | 【温馨提示】 (1)简记为“左加右减自变量,上加下减常数项”; (2)直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 |
向上平移个单位 | ||
向下平移个单位 | ||
向左平移个单位 | ||
向右平移个单位 |
同一平面直角坐标系中两直线,的位置关系
的关系 | 与的关系 |
与相交 | |
, | 与相交于轴上的一点 |
, | 与平行 |
一次函数与一元一次不等式(或)的关系
一次函数与一元一次不等式的关系 | 数的角度 | 不等于的解集在函数中,时的取值范围 |
不等式的解集在函数中,时的取值范围 | ||
形的角度 | 不等式的解集直线在轴上方的部分所对应的的取值范围 | |
不等式的解集直线在轴下方的部分所对应的的取值范围 |
一次函数与二元一次方程(组)的关系
二元一次方程组(都不为0,且,都是常数)的解是一次函数和图象的交点坐标.
三:反比例函数
反比例函数的图象性质
反比例函数 | |||
的符号 | |||
图象 | |||
图象位置 | 第一、第三象限 | 第二、第四象限 | |
性质 | 增减性 | 在同一支上,随的增大而减小;在两支上,第一象限值大于第三象限值 | 在同一支上,随的增大而增大;在两支上,第二象限值大于第四象限值 |
对称性 | 关于直线,成轴对称;关于原点成中心对称. 注:因为反比例函数和反比例函数图象都关于原点对称,故在同一直角坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象若有交点,则两个交点关于原点对称 | ||
渐近趋势 | 反比例函数图象无限接近坐标轴,但与坐标轴永不相交 |
反比例函数比例系数的几何意义
(1)如图所示,过曲线上任意一点分别作轴,轴的垂线,,所得的矩形的面积.因为,所以,所以,即过双曲线上任意一点作轴,轴的垂线,所得的矩形面积为.
(2)如图,过双曲线上的任意一点作轴,垂足为,连接,则,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为.
四:二次函数
二次函数的性质
二次函数 | (是常数,) | |
对称轴 | 或(其中,为二次函数图象)与轴两个交点的横坐标 | |
顶点坐标 | (1)利用顶点坐标公式求解; (2)用配方法把一般式转化为顶点式求解; (3)将对称轴代入函数解析式求解 | |
增减性 | 时,当时,随的增大而减小;当时,取最小值;当时,随的增大而增大 | 时,当时,随的增大而增大;当时,取最大值;当时,随的增大而减小 |
用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下
已知 | 所设表达式 | |
顶点+其他 | 顶点在原点处: 顶点在轴上: 顶点在轴上: | |
与轴的两个交点+其他 | (注:与轴的两个交点为) | |
对称轴+与轴一交点+其他 | (1),当对称轴为轴时, (2)由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点,设解析式 (注:对称轴为直线,与轴的一个交点为) | |
任意三个点 | 过原点: |
抛物线的平移
二次函数与一元二次方程
(1)一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标;
(2)判别式决定抛物线与轴的交点个数:
①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点;
②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点;
③方程没有实数根抛物线与轴没有交点
专题一 实数——2023届中考数学公式定律速记清单: 这是一份专题一 实数——2023届中考数学公式定律速记清单,共6页。试卷主要包含了实数的分类,实数的有关概念等内容,欢迎下载使用。
专题四 方程与不等式——2023届中考数学公式定律速记清单: 这是一份专题四 方程与不等式——2023届中考数学公式定律速记清单,共3页。试卷主要包含了如果,那么等内容,欢迎下载使用。
专题十 统计与概率——2023届中考数学公式定律速记清单: 这是一份专题十 统计与概率——2023届中考数学公式定律速记清单,共3页。试卷主要包含了极差,平均差,标准差等内容,欢迎下载使用。