专题八 圆——2023届中考数学公式定律速记清单

专题八 圆——2023届中考数学公式定律速记清单

确定圆的条件：

过一点画无数个圆

过两点画无数个圆圆心在这两点的垂直平分线上

过三点 ①三点在一条直线上不能画圆

②三点不在同一条直线上画一个圆圆心是任意两点的垂直平分线的交点

圆的对称性

①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴

②圆是中心对称图形，圆心是对称中心

③圆具有旋转不变性

圆心角、弧、弦之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

拓展：①平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

圆周角定理推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径

圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补

②圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角

点和圆的位置关系

设的半径为，点到圆心的距离，则有：

点在圆外

点在圆上

点在圆内

直线和圆的位置关系

为圆心到直线的距离，为的半径

相交：直线和圆有两个公共点，直线与相交

相切：直线和圆只有一个公共点，直线与相切

相离：直线和圆没有公共点，直线与相离.

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

切线的判定方法

①定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线

②数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线

③判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理的推论

①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必过圆心

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心

三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.

三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，如图（1）所示；直角三角形的外心是斜边的中点，如图（2）所示；钝角三角形的外心在三角形的外部，如图（3）所示.

三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

【注意】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部

三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径

【拓展】三角形内切圆的作法：作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可

弧长公式：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即.于是的圆心角所对的弧长为

扇形面积公式：①，其中扇形的圆心角为，半径为.

②，其中扇形所对的弧长为，半径为.

扇形的周长公式：，其中为弧长，为半径

圆锥的侧面积和全面积

如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积.

正多边形的对称性

所有的正多边形都是轴对称图形，一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心.为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

正多边形的有关计算

与正边形有关的计算公式（正边形的半径为，边长为，边心距为）：