专题03 中点弦问题（点差法）-高考数学满分突破之解析几何篇

专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）

椭圆:

第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，

第二步：两式相减得，

第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。

特别提醒：

若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值

考点一 直线与椭圆

例1．（1）、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

（2）、已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是

A．2 B． C． D．

（3）、椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为

A． B． C． D．

【小试牛刀1-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.

【小试牛刀1-2】．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．

【小试牛刀1-3】．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.

例2．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值．

【小试牛刀2-1】．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；

（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，

考点二 直线与双曲线

例3.（1）、已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为               .

（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ）

A．2 B． C． D．

（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.

【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.

【小试牛刀3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.

例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C过点，其焦点，在x轴上，且．

(1)求双曲线C的标准方程．

(2)是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

考点三 直线与抛物线

例5.（1）、已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（     ）

  A.      B.   C.   D.

（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于､两点.若，则线段的中点的纵坐标为（    ）

A． B．3 C． D．4

（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线交准线于，若的中点为，则__________.

【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.

【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．

例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．

(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及．

A组 基础巩固

1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为   (      )

  A.      B.      C.      D.

2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于

    两点,且的中点为,则的方程为   (      )

A.     B.      C.      D.

3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A．－ B． C．－2 D．2

4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是

A． B． C． D．

6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是

A． B． C． D．

7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）

A． B． C． D．1

8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是

A． B． C． D．

9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

16．（2022·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（    ）

A． B． C．3 D．4

17．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（    ）

A．12 B．18 C．16 D．8

18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线交于两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．

20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.

21．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.

22．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．

23．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

24．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.

B组 能力提升

25．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A． B．

C． D．

26．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

27．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（   ）

A． B． C． D．

28．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.

29．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.

30．设椭圆的短轴长为4，离心率为．

（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

31．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；

（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.

32．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；

（2）求证：为定值；

（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.

33．已知直线：与椭圆：交于，两点.

（1）若直线过椭圆的左焦点，求；

（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.

34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．

(1)若的倾斜角为且过点F，求；

(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．

35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且.

(1)求的离心率；

(2)设是与的公共点，若，求与的标准方程；

(3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求.