2022-2023学年浙江省杭嘉湖金四县区高二（下）调研数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省杭嘉湖金四县区高二（下）调研数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.  设为等比数列的前项和，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设某项试验的成功率是失败率的倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量去描述次试验的成功次数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数，下列直线不可能是曲线的切线的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知数列，，，若，则正整数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践，学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“打印”四种课程甲、乙、丙名同学每名同学至少从中选一种，每种课程都恰有人参加，记“甲参加民俗文化”，“甲参加茶艺文化”，“乙参加茶艺文化”，则下列结论正确的是(    )

A. 事件与相互独立 B. 事件与互斥
C.  D.

7.  已知实数，满足，则满足条件的的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其它无区别的小球，第个袋子中有个红球，个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球每个取后不放回，若第三次取出的球为白球的概率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知在的二项展开式中，第项为常数项，则(    )

A.  B. 展开式中项数共有项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为

10.  某兴趣小组研究光照时长单位：小时和向日葵种子发芽数量单位：颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是(    )

A. 与的线性相关性变强 B. 样本相关系数变小
C. 残差平方和变大 D. 决定系数变大

11.  记函数与的定义域的交集为，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有(    )

A. ， B.  ， 
C. ， D. ，   

12.  某种疾病在某地区人群中发病率为现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为，患病人群检测为阴性的概率为设事件“某人不患该病”，“该人被检出阳性”，则(    )

A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设随机变量，则 ______ ．

14.  若，则的值为______ ．

15.  某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量可以用正态分布近似，且满足：，已知标准正态分布随机变量满足，那么该业务保单的利润现值可以以的概率大于______ ．

16.  已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围．

18.  本小题分
数列满足，数列前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．

19.  本小题分
某大学有，两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近天选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率计算某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率；
某天午餐，甲和乙两名同学准备去，这两个餐厅中某一个就餐设事件“甲选择餐厅就餐”，事件“乙选择餐厅就餐”，，若，证明：事件和相互独立．

20.  本小题分
过点作曲线：，，的切线，切点为，设在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，，依此下去，得到一系列点，，，，设点的横坐标是．
Ⅰ求，并求数列的通项公式；
Ⅱ求证：．

21.  本小题分
学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得分，失败得分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得分，次局获胜得分，失败均得分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动每天两局时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动每天两局，各局比赛互不影响．
Ⅰ求李明这天参加“双人对战”活动的总得分的分布列和数学期望；
Ⅱ设李明在这天的“四人赛”活动每天两局中，恰有天每天得分不低于分的概率为求为何值时，取得最大值．

22.  本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值；
若关于的方有两个不同的实根，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为组合数公式的性质公式，而，
所以或，所以或．
经验证或符合题意．
故选：．
根据组合数公式的性质公式，求出，验证即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，，
由题意可得，解得，
故，
故选：．
由题意可得数列的公比，代入求和公式化简可得．
本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：某项试验的成功率是失败率的倍，
用离散型随机变量描述次试验成功的次数，
设失败率为，则成功率为．
的分布列为：

则“”表示试验失败，“”表示试验成功，
，解得，
．
故选：．
本题符合两点分布，先求出分布列，再根据分布列的性质求出概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点分布的性质的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：的定义域为，，
设曲线上 的切点为．
对于，由题意可得，解得，
故可能是曲线的切线；
对于，由题意可得，解得，
故可能是曲线的切线；
对于，由题意可得，即，，方程无解，
故不可能是曲线的切线；
对于，由题意可得，解得，
故可能是曲线的切线．
故选：．
求出原函数的导函数，设切点坐标，由题意分别列关于，的方程组，求解与的值，验证四个选项得答案．
本题考查利用导数求曲线上的切线方程，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，可知，
即，
可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，
有，
则由，解得．
故选：．
由已知数列递推式可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，再由得关于的方程，求解得答案．
本题考查数列的递推关系式，考查等差数列的有关运算，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙三名同学从四种课程中至少选一种，共有种基本事件，
事件包含的基本事件数为：，
则，
同理，
事件包含的基本事件数为：，则，
事件包含的基本事件数为：，则，
因为，故A错误；
因为事件和事件不互斥，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D错误．
故选：．
分别求出，和，再利用互独立事件同时发生的概率和条件概率公式逐个判断即可．
本题考查相互独立事件的判断和条件概率，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由实数，满足，可化为，即，
构造函数，，，
当时，，单调递增，
即，可以得到，
从而，构造函数，
，令可以得到，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而当时，取最小值，即有最小值．
故选：．
方程化为，构造函数，，求出函数的导数，判断函数的单调性，推出，
从而，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值即可．
本题考查导数求函数单调性，导数求函数的最值，属于综合题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：白，白，白，取法数为，白，红，白，取法数为，红，白，白，取法数为，红，红，白，取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
故对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率为：
，
所以，
解得．
故选：．
设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，再分四类求出第三次取出白球的方法数，进而求出第个袋子中第三次取出的是白球的概率，及选到第个袋子的概率为，最后根据互斥事件及独立事件的概率即可求解．
本题主要考查古典概型，互斥事件及相互独立事件的概率求法问题，考查了逻辑分析能力和计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
第项为常数项，当时，的次数为，
即，即故A正确，
展开式中项数共有项，故B错误，
则展开式的通项公式为．
由，得，得，
得，则的项的系数为，故C正确．
展开式的有理项只要的次数是整数即可，则当可取，，时满足条件，
即第项，第项与第项为有理项．共有项，故D正确．
故选：．
根据第项为常数项，求出，然后分别进行判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出，求出展开式的通项公式，利用通项公式分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由散点图知，去掉点后，与的线性相关性变强，所以选项A正确；
因为是正相关，所以相关系数变大，选项B错误；
残差平方和变小，所以选项C错误；
决定系数变大，所以选项D正确．
故选：．
由散点图知，去掉离群点后，与的线性相关加强，由由此判断即可．
本题考查了两个变量相关性强弱的判断，涉及相关系数和决定系数以及残差平方和，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和零点，属于中档题．
构造函数，分析其单调性和零点，结合“相关函数对”的定义判断即可．

【解答】

解：若存在，使得对任意，不等式恒成立，
即当时，，当时，，
选项A，，，
可得时，函数递增；时，函数递减，
可得处函数取得最小值，
即恒成立，故不满足“相关函数对”的定义；
选项B，令，
易知函数在单调递增，
且，
即函数存在唯一零点，当此零点为时，
恒成立，
故构成“相关函数对”．
选项C，不等式恒成立，
即恒成立，
即当即时，恒成立，此时；
当即时，恒成立，此时无解；
故不满足“相关函数对”的定义；
选项D，令，
易知函数在单调递增，且，
则存在，使得恒成立，
故构成“相关函数对”．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
，，故A正确；
则有，故BC错误；故D正确．
故选：．
根据条件概率公式和概率的乘法公式计算即可．
本题主要考查条件概率和全概率公式综合，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为随机变量，
所以．
故答案为：．
利用二项分布的概率公式求解即可．
本题考查了二项分布的概率公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据二项展开式，
令，，其中，
故．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，设该业务保单的利润现值为，
则有，
解得．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递增减，此时若存在使得，
则在单调递增，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，即：，
解得：或者舍去，
综上所述：的取值范围是．
由已知分析函数至少应该两个变号零点，对其再求导，分类讨论和时两种情况，
本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为；
因为，函数定义域为，
可得，
不妨设切点为，
则，
要使曲线有两条切线，
此时 有两非零解，
即，
解得或．
故实数的取值范围为或． 

【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数的单调性；
设处切点坐标，利用导数几何意义及两点式斜率公式建立方程，结合根的判别式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
 

18.【答案】解：数列满足，数列前项和为，．
可得：当  时，，
当  时，，符合关系式，
所以．
由得：，
，
，
得，，
所以． 

【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：设“某天中午甲去餐厅用餐”为事件，“该天中午甲去餐厅用餐”为事件，
由题知 ，，
，
所以某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率为；
证明：由 可知 ，
所以，
即，
所以，
得，
即和相互独立得证． 

【解析】根据题意设出事件，用表格数据直接求解；
用条件概率公式和全概率公式化简原式得到，进一步化简得到，进而证明事件和相互独立．
本题考查条件概率的计算，条件概率与独立性的关系，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ，若切点是 ，则切线方程为 ．
当  时，切线过点 ，即 ，得 ．
当  时，切线过点 ，即 ，得 ．
所以数列  是首项为 ，公比为  的等比数列，．
Ⅱ证明：
． 

【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求出切线方程，从而可得数列递推式，推出数列  是等比数列，进而可得通项公式；
Ⅱ把分解为，利用二项式定理即可证明不等式．
本题考查曲线的切线方程的应用，考查等比数列通项公式的求解，以及数列不等式的证明，为中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ的所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，．
所以的分布列为

．
Ⅱ由题意知“每天得分不低于分”的概率为，
所以天中恰有天每天得分不低于分的概率，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值． 

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
Ⅰ可取，，，，，，求出取每个值的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；
Ⅱ先求出一天得分不低于分的概率，再求出恰有天每天得分不低于分的概率，再根据导数求出函数的单调区间，即可得出答案．
 

22.【答案】解：当时，，故，
当时，，故在上为增函数，
当时，，故在上为减函数，
故．
方程即为，
整理得到：，令，
故，因为，均为上的增函数，故为上的增函数，
而，故的解为，
因为方程有两个不同的实数根，故有两个不同的正数根，
设，则，
若，则，故在上为增函数，在上至多一个零点，与题设矛盾；
若，则时，；时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
由有两个不同的零点可得，
故．
当时，，而，
故在有且只有一个零点，
又，设，
令，，则，
故在上为减函数，故，
故，故在有且只有一个零点，
综上，即实数的取值范围为． 

【解析】求出函数的导数，讨论其单调性后可得函数的最大值．
利用同构可将原方程转化为有两个不同的正数根，利用导数结合零点存在定理可求参数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．