2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷五 平面向量、数系的扩充与复数的引入

这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷五 平面向量、数系的扩充与复数的引入，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.若复数z=21+i,则|z-i|=( )
A.2B.5
C.4D.5
2.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)∥c,则t=( )
A.-32B.32C.-23D.23
3.已知复数z1=-2+i,z2=z1i,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是( )
A.5B.10
C.5D.10
4.已知向量a=(0,3),b=(4,0),则cs=( )
A.35B.45C.-35D.-45
5.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且OA=a,OB=b,则BC可以表示为( )
A.a+bB.a-b
C.b-aD.-a-b
6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),则( )
A.a⊥bB.a与b同向
C.a与b反向D.|a|=2|b|
7.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,|a+b|=|a-b|,则|a-2b|=( )
A.5B.5
C.7D.7
8.原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,|OA|=2,|OB|=1,|OC|=3,若OC=λOA+μOB,则μλ=( )
A.-33B.33C.-3D.3
9.已知向量a=(λ,1),a-b=(0,4),a⊥b,则a-b在a方向上的投影为( )
A.2B.2
C.3D.5
10.任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cs θ+isin θ)(其中r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.已知有公式[r(cs θ+isin θ)]n=rn(cs nθ+isin nθ)(n∈Z),由公式可知,“n为偶数”是“复数csπ2+isinπ2n(n∈Z)为实数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且OA+OB+2OC=0,则△AOB的面积是( )
A.43B.833
C.433D.23
12.如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,|AD|=3,∠BAD=π6,CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),则CM·CN的最大值为( )
A.4+132B.2+132
C.4+134D.2+134
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
14.已知a,b是两个单位向量,c=2a+b,b⊥c,则a·(a+b)= .
15.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=3,则向量a-b和b的夹角为 .
16.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R.则x+y的最大值为 ;x-y的取值范围是 .
参考答案
单元质检卷五 平面向量、数系
的扩充与复数的引入
1.B 解析∵z-i=21+i-i=1-2i,∴|z-i|=12+(-2)2=5,故选B.
2.D 解析由2a+b=(1,2),又(2a+b)∥c,∴2t=2-t,可得t=23.
3.B 解析z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2=z1i=-i(-2+i)-i2=1+2i对应的点坐标为(1,2),所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为(-2-1)2+(1-2)2=10.
4.A 解析因为向量a=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),
所以cs=3×33×(-4)2+32=35.
5.D 解析依题意OC=-OA=-a,而OB=b,所以BC=OC−OB=-a-b.故选D.
6.C 解析a·b=1×(-2)+(-3)×6=-20≠0,故A错误;
∵b=(-2,6)=-2(1,-3)=-2a,∴a与b反向,故B错误,C正确;
|a|=1+9=10,|b|=4+36=210,|b|=2|a|,故D错误.
7.C 解析∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
∴a·b=0,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,∴|a-2b|=7.
8.D 解析建立如图所示的直角坐标系,根据题意,A(2,0),B-32,12,C-32,-332,
因为OC=λOA+μOB,由向量相等的坐标表示可得2λ-32μ=-32,μ2=-332,
解得λ=-3,μ=-33,即μλ=3.
9.B 解析由a=(λ,1),a-b=(0,4),得b=(λ,-3),由a⊥b,得a·b=λ2-3=0,解得λ=±3,
所以|a|=2,故a-b在a方向上的投影为(a-b)·a|a|=42=2.
10.C 解析由csπ2+isinπ2n=csnπ2+isinnπ2为实数,得sinnπ2=0,
故nπ2=kπ,k∈Z,即n=2k,k∈Z;
反之,若n为偶数,则设n=2k,k∈Z,则sinnπ2=sin kπ=0,则cs π2+isin π2n=cs nπ2+isin nπ2=cs nπ2,为实数.
故“n为偶数”是“复数csπ2+isinπ2n(n∈Z)为实数”的充要条件.
11.D 解析根据题意,设AB的中点为D,△ABC是等边三角形,则CD⊥AB,
AB的中点为D,则OA+OB=2OD,
又由OA+OB+2OC=0,则OC=-OD,则O是CD的中点,
又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=23,则OD=3,则S△AOB=12×4×3=23.
12.C 解析由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴正方向,以DA方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,因为|AD|=3,∠BAD=π6,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,3).
又CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),
所以M,N分别为BA,DA的中点,
因此M12,32,N0,32,
又CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点,
设C(x,y),则(x-12)2+y2=14,即x2+y2=x,
又CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,
所以CM·CN=-12x+x2+34−3y+y2=12x-3y+34,
令m=12x-3y,即x-23y-2m=0,
所以点C(x,y)为直线x-23y-2m=0与圆(x-12)2+y2=14的一个交点,
因此圆心12,0到直线x-23y-2m=0的距离小于等于半径12,即d=|12-2m|1+12≤12,
解得1-134≤m≤1+134,
所以CM·CN的最大值为1+134+34=4+134.
13.-103 解析∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-103.
14.12 解析∵a,b是两个单位向量,c=2a+b,b⊥c,∴b·c=b·(2a+b)=2a·b+b2=0,
解得a·b=-12,∴a·(a+b)=a2+a·b=12.
15.5π6 解析由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,
由cs=(a-b)·b|a-b|·|b|=a·b-b223=1-423=-32,所以向量a-b和b的夹角为5π6.
16.2 [-1,1]
解析如图所示,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则A(1,0),B-12,32,设C(cs θ,sin θ)0≤θ≤2π3.
由于OC=(cs θ,sin θ),OA=(1,0),OB=-12,32,
根据OC=xOA+yOB,得到csθ=x-12y,sinθ=32y,从而x=csθ+13sinθ,y=23sinθ,
故x+y=cs θ+3sin θ=2sinθ+π6,当θ=π3时,(x+y)max=2.
x-y=cs θ-33sin θ=233csθ+π6,
又π6≤θ+π6≤5π6,
∴-32≤csθ+π6≤32,即-1≤x-y≤1.