广西专用高考数学一轮复习单元质检五平面向量数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版文.

单元质检五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.(2020广西柳州模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则在复平面内z所对应的点在(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:A

解析:因为z==2+3i,

所以在复平面内z所对应的点为(2,3),在第一象限.故选A.

2.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,F为AE的中点.设=a,=b,则=(　　)

A.-a+b B.a+b

C.a-b D.a-b

答案:D

解析:a-b.

3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=(　　)

A.2 B.3 C. D.

答案:C

解析:∵|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=|a|2+4a·b+4|b|2=5+4×4=21,∴|a+2b|=.

4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(　　)

A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2

答案:D

解析:如图,设=a,=b,

则=()·

=(a+b)·a=a2+a·b

=a2+a·a·cos60°

=a2+a2=a2.

5.已知复数z=a+(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案:A

解析:由题意,得

z=a+=a+,

∴.

又复数z的共轭复数的虚部为-,

∴-=-,解得a=2.∴z=i,

∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是(　　)

A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)

答案:C

解析:设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).

7.(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)

A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b

答案:D

解析:由题意可知,a·b=|a||b|cos60°=.

对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,不符合题意;

对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;

对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-≠0,不符合题意;

对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.

8.如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则=(　　)

A.- B. 

C. D.

答案:D

解析:由题意,得.

∵E为BC的中点,F为AE的中点,∴.

∴)-

=.

又,∴.

9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为.若a-λb与b垂直,则实数λ的值为(　　)

A.- B. C.- D.

答案:D

解析:因为a-λb与b垂直,且a·b=1×2×cos,

所以(a-λb)·b=-4λ=0,解得λ=,故选D.

10.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:由题意,得=(2+cosα,2+sinα),

所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,

如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.

11.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,,若=12,则∠ADC=(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为=-=-,所以·-=×9+×3×2cos∠BAD+×4=8+8cos∠BAD=12,所以cos∠BAD=,∠BAD=,∠ADC=.

12.已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.

答案:B

解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值为3,因此|-t|的最小值为.

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.复数z=(i为虚数单位),则|z|=　　　　. 

答案:

解析:|z|=.

14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点.若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,

则E.

设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,

则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值.

15.已知两个单位向量a和b的夹角为120°,则a+b在b方向上的投影为　　　　　. 

答案:

解析:设向量a+b与b的夹角为θ.

因为(a+b)·b=a·b+b2=,所以|a+b|cosθ=.

16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上的一个动点,则的取值范围是　　　　　　. 

答案:[0,+1]

解析:如图,画出函数y=的图象.

这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.

不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.

设的夹角为θ,则θ∈.

当θ∈时,cos,

当θ∈时,cos.

因为y=cosx,x∈R是偶函数,

所以||=2cos,θ∈.

=||||cosθ=2coscosθ

=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1

=sin+1.

因为θ∈,所以2θ+.

当2θ+,即θ=时,取最大值+1,

当2θ+,即θ=时,取最小值0,

所以的取值范围是[0,+1].