2024年新高考数学一轮复习 第四章 第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念

课时跟踪检测(二十五) 任意角和弧度制、三角函数的概念

1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　 )

A．2kπ＋45°(k∈Z)  B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)   D.kπ＋(k∈Z)

解析：选C　由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．

2．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为(　 )

A.  B．  C.  D.

解析：选C　设扇形的半径为r，则××r2＝，解得r＝2.所以扇形的弧长为2×＝.

3．若sin θ<0且tan θ<0，则角θ所在的象限是(　 )

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D.第四象限

解析：选D　sin θ<0，则角θ在第三、四象限或y轴非正半轴上，tan θ<0，则角θ在第二、四象限，所以满足sin θ<0且tan θ<0的角在第四象限．

4．(2023·渭南模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，若终边过点P(2，－1)，则sin 2α＝(　 )

A.  B．－  C.  D.－

解析：选B　∵角α终边过点P(2，－1)，∴sin α＝－＝－，cos α＝＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.

5．平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝(0＜α＜π)，则tan α＝(　 )

A．－  B．

C．－  D.

解析：选D　由题意得sch α＝＝＝(0＜α＜π)，所以25(y－x)2＝x2＋y2，即242－50＋24＝0，且y＞x，解得＝.故tan α＝.

6．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m≠0)，则下列各式的值一定为负的是(　 )

A．sin α＋cos α  B．sin α－cos α

C．sin αcos α  D.

解析：选D　由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝－＜0，tan α＝－m.所以＝cos α＜0.故选D.

7．(2023·北京人大附中模拟)半径为3的圆的边沿有一点A，半径为4的圆的边沿有一点B，A，B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A，B两点再次重合小圆滚动的圈数为(　 )

A．1  B．2  C．3  D.4

解析：选D　设A，B两点再次重合小圆滚动的圈数为n，则n×2π×3＝6nπ＝k×2π×4＝8kπ，其中k，n∈N*，所以n＝，则当k＝3时，n＝4.故A，B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.

8．已知集合A＝，B＝，则下列选项正确的是(　 )

A．A∩B＝∅  B．A⊆B

C．B⊆A  D.A∪B＝R

解析：选B　在[0,2π]范围内，集合A含有，集合B含有∪，由角的周期性变化可知A⊆B，故选B.

9．已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　 )

A．(2cos θ，sin θ)  B．(－2cos θ，2sin θ)

C．(－2cos θ，－2sin θ)  D.(2cos θ，－2sin θ)

解析：选C　由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．

10．(多选)下列说法正确的有(　 )

A．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零

B．若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形

C．对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|

D．对任意角α，都有＝|tan α|＋

解析：选BD　对于A，正角和负角的正弦值都可正、可负，故A错误；对于B，∵sin α·cos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，即β∈，∴三角形必为钝角三角形，故B正确；对于C，当sin α，cos α异号时，等式不成立，故C错误；对于D，∵tan α，的符号相同，∴＝|tan α|＋，故D正确．因此正确的有B、D.

11．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　 )

A．0.6  B．0.8  C．－0.6  D.－0.8

解析：选B　已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角．由l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝cos＝－sin α，即＝－，解得x＝0.8.

12.如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l(l<r)．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB.若当0<x<时，sin x≈x－，扇形OAB的面积记为S，则的值约为(　 )

A.－  B．－

C.－  D.－

解析：选B　设扇形OAB的圆心角为α，则α＝，在△OAB中，AB＝2rsin＝2rsin，又S＝lr，∴＝＝sin，又0<<，∴＝sin≈＝－.故选B.

13．写出两个与－终边相同的角________．

解析：设α是与－终边相同的角，则α＝2kπ－，k∈Z，令k＝1，得α＝－，令k＝2，得α＝.

答案：，－(答案不唯一)

14．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．

∴∴－2＜a≤3.

答案：(－2,3]

15．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin αcos β<0，则cos αsin β＝________.

解析：由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin αcos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－.因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos αsin β＝±.

答案：±

16.(2023·武汉质检)如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所用的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形称为月牙形．若已知该月牙形的面积为S，AB＝2r，则S与r的关系式是________．

解析：记曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为S′，连接OC，因为C为弧AB的中点，所以AO＝OC＝r，AC＝r，则S＝π2－S′＝π2－＝S△AOC＝×r×r＝r2.

答案：S＝r2