备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题33 概率与统计综合问题

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专题33 概率与统计综合问题
【典例例题】
例1．（2023·高三课时练习）有三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为p（）．
(1)任取树苗A、B、C各一株，设自然成活的株数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)将（1）中的E(X)取得最大值时的p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n株B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一株B种树苗最终成活的概率；
②若每株树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，应至少引种B种树苗多少株？
【解析】（1）由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，则
；
；
；
．
由此得X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P




所以．
（2）根据,由（1）知当时,取得最大值.
①一株种树苗最终成活的概率为.
②记为株种树苗的成活株数,为株种树苗的利润,则,
,
要使,则有.
所以该农户应至少种植700株种树苗,就可获利不低于20万元.
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为，在B处射门的命中率为.
(1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望；
(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
【解析】（1）设甲队员在A处命中的事件为A，在B处命中的事件为，有，
X的所有可能值为0，2，3，4，
，
，
，，
所以X的分布列为：
X
0
2
3
4
P




数学期望.
（2）设甲队员选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，
由（1）知，，
，显然，
所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大.
例3．（2023·广东深圳·高三统考期末）快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下：

(1)求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；
(2)若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望.
注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
【解析】（1）因为频率分布直方图的组距为10，
所以，落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以，.
因为落在区间上的频率为，
而落在区间上的频率为，
所以第70百分位数落在区间之间，设为，
则，解得，
所以估计第70百分位数为31.
（2）由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，
因为可取0，1，2，3，且，
则，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以的数学期望为（或直接由）.
例4．（2023·全国·高三专题练习）年月日，郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州市，南至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长公里，此前，北京到重庆的高铁列车耗时小时分，现在只需小时分；石家庄至重庆高铁的耗时由小时分缩短至小时分，郑州至重庆的耗时由小时分缩短至小时分，不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳古隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点. 现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共有位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共个车站中选择一站下车，且彼此独立.

(1)求这位旅客选择下车的车站互不相同的概率；
(2)设这位旅客选择下车的车站共有个，求的分布列和期望.
【解析】（1）记事件这位旅客选择下车的车站互不相同，则.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，
则，，
，，
因此，随机变量的分布列如下表所示：










所以，.
例5．（2023·江苏泰州·高三统考期末）甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.
(1)求乙获得冠军的概率;
(2)用表示甲校的总得分,求的分布列与期望.
【解析】（1）解:由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜,
乙在两个项目中获胜的概率,
乙在三个项目均获胜的概率,
故乙获得冠军的概率;
（2）由题分析可得,的所有可能取值为0,100,200,300,
,
,
,
,
所以的分布列如下：

0
100
200
300

0.12
0.38
0.38
0.12
的期望.
例6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中有多少学生上课睡觉”设计、两个问题，问题“你是否上课睡觉”，问题“你是否在上半年出生”小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等）
(1)若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内上课睡觉的学生人数；
(2)视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中上课睡觉的人数为，求的期望.
【解析】（1）回答问题的学生有人，投入的石子有个，
回答问题的学生有人，投入的石子有个，
用样本估计总体，则学生上课睡觉的概率，
则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有名；
（2）由（1）可得，
则，，
因为，
所以.
例7．（2023·江西·高三校联考期末）2022年10月16日二十大胜利召开后，学习贯彻党的二十大精神，要在全面学习上下功夫，只有全面、系统、深入学习，才能完整、准确、全面领会党的二十大精神.有关部门就学习宣传二十大精神推进学校和机关单位，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响.
(1)求甲、乙、丙三名同学恰有两位同学成为宣传员的概率；
(2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差.
【解析】（1）每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题，
所以每个同学成为宣传员的概率为，
因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概率均为，所以甲、乙、丙三名同学恰有两位同学通过测试的概率为.
（2）因为每个人成为宣传员的概率均为，故为独立重复试验，又随机变量表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生次的概率，所以随即变量满足二项分布，
所以，.

【技能提升训练】
1．（2023·四川南充·校考模拟预测）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图

(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；
(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线
(3)以这名学生成绩不低于分的频率为概率，从参赛的名学生中随机选名，其中参赛学生成绩不低于分的人数记为，求的方差
【解析】（1）由，得
这名参赛学生的平均成绩约为分，
故估计所有参赛学生的平均成绩为分
（2）获得表彰的学生人数的频率为，
设获得表彰的学生的最低分数线为，
由分数在区间的频率为，可知，
由，得，
故估计获得表彰的学生的最低分数线为分
（3）这名学生成绩不低于分的频率为，
由题意，可知，
故
2．（2023·四川南充·校考模拟预测）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图

(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；
(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线
【解析】（1）由，得
这名参赛学生的平均成绩约为分，
故估计所有参赛学生的平均成绩为分
（2）获得表彰的学生人数的频率为，
设获得表彰的学生的最低分数线为，由分数在区间的频率为，可知，
由，得，
故估计获得表彰的学生的最低分数线为分
3．（2023·江苏无锡·高三统考期末）体育比赛既是运动员展示个人实力的舞台，也是教练团队排兵布阵的战场．在某团体比赛项目中，教练组想研究主力队员甲、乙对运动队得奖牌的贡献，根据以往的比赛数据得到如下统计：

运动队赢得奖牌
运动队未得奖牌
总计
甲参加
40
b
70
甲未参加
c
40
f
总计
50
e
n
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联？
(2)根据以往比赛的数据统计，乙队员安排在1号，2号，3号三个位置出场比赛，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，同时运动队赢得奖牌的概率依次为：0.6，0.7，0.5．则
①当乙队员参加比赛时，求该运动队比赛赢得奖牌的概率；
②当乙队员参加比赛时，在运动队赢得比赛奖牌的条件下，求乙在2号位置出场的概率．
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【解析】（1）由题意知，，，
，
2×2列联表如下：

运动队赢得奖牌
运动队未得奖牌
总计
甲参加
40
30
70
甲未参加
10
40
50
总计
50
70
120
，
∴可以认为该运动队赢得奖牌与甲参赛有关联．
（2）①乙队员参加比赛时，赢得奖牌的概率．
②记事件A为“乙运动员赢得比赛奖牌”，事件B为“乙在2号位置出场”，
∴．
4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）近些年来，学生的近视情况由高年级向低年级漫延，为调查某小学生的视力情况与电子产品的使用时间之间的关系，调查者规定：平均每天使用电子产品累计5小时或连续使用2小时定义为长时间使用电子产品，否则为非长时间使用.随机抽取了某小学的150名学生，其中非长时间使用电子产品的100名，长时间使用电子产品的50名，调查表明非长时间使用电子产品的学生中有95人视力正常，长时间使用电子产品的学生中有40人视力正常.
(1)是否有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关？
(2)如果用这150名学生中，长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生视力正常的在各自范围内所占比率分别代替该校长时间使用电子产品的学生和非长时间使用电子产品的学生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2个非长时间使用和1个长时间使用电子产品），设随机变量表示“3人中视力正常”的人数，试求的分布列和数学期望.
附：.

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【解析】（1）根据题意，列出如下列联表：

视力正常
视力不正常
总计
长时间使用电子产品



非长时间使用电子产品



总计



则，
所以有99.5%的把握认为视力正常与否与是否长时间使用电子产品有关.
（2）长时间使用电子产品视力正常的概率是，非长时间使用电子产品视力正常的概率是，由题意可知：的可能取值为，
；；
；；
所以的分布列为：










则.
5．（2023·重庆·统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．

(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．
【解析】（1）由,解得
,解得.
（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，
记任选2人有男生为事件,则，
记任选2人有女生为事件,则，
则.
（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和的学生中抽取8人,
抽中的8人每天学习时间在的人数为人.
抽中的8人每天学习时问在的人数为人.
设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则

的分布列为:

0
1
2




的数学期望为.
6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数（单位：箱）与成本（单位：千元）的关系如下：

1
3
4
6
7

5
6.5
7
7.5
8
与可用回归方程（其中为常数）进行模拟．

(1)若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）
(2)据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较和时，此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设，则




0.54
6.8
1.53
0.45
线性回归直线中，．
【解析】（1）根据题意，，
所以，
所以，
又，所以，
所以时，（千元），
即该水果100箱的成本为11764元，
故该水果100箱的利润（元）．
（2）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：
箱数









设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，
则的可能取值为1500，800，100，其分布列为：

1500
800
100




故,
的可能取值为2000，1300，600，，其分布列为：

2000
1300
600






故,
即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．
7．（2023·全国·高三专题练习）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列．
【解析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．
记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．
所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．
（2）设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，8
，
，，
分布列

0
2
4
6
8
P





8．（2023·广东·高三校联考阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.
【解析】（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表
示“第局乙获胜”，则，.
则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立.
由概率加法公式和乘法公式，有
．
（2）的可能取值为，

，
，
．
故的分布列为

2
3
4
5





所以.
9．（2023·湖北·校联考模拟预测）2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：

(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学滑行，转弯，停止三个动作达到“优秀”的概率分别为，且各个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【解析】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件A为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件B为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，
所以
（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足，
由，得.
所以理论上至少要进行6轮测试.
10．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；
(2)求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
【解析】（1）由已知可得，，又，解得
设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5
；





所以的分布列为

0
1
2
3
4
5
P






从而数学期望为：

11．（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超万的超大城市，注册青年志愿者人数超万，志愿服务时长超万小时.年月，成都个市级部门联合启动了年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到个主体的个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等大领域.已知某领域共有支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成组：，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值；
(2)从评分不低于分的队伍中随机选取支队伍，该支队伍中评分不低于分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.
【解析】（1）由，
解得．
（2）由题意知不低于分的队伍有支，
不低于90分的队伍有支.
随机变量的可能取值为.

的分布列为









12．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望.
【解析】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.
设此数列为，则易知，，所以.
解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场.
则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.
所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.
（2）随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，
，，
，，
所以的分布列为

2200
3000
3900
4900





所以.
13．（2023·全国·高三对口高考）某食品店为了了解气温对某食品的销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天这种食品的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如下表：
当日最低气温x（℃）
2
5
8
9
11
日销售量y（千克）
12
10
8
8
7
(1)求出y与x的回归方程﹔
(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，请用所求回归方程预测该店当日这种食品的销售量；
(3)设该地1月份的日最低气温，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附：若，则，.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【解析】（1）由已知数据得，，
则，
，
于是，，
所以，所求的回归方程是；
（2）由知，y与x之间是负相关，
将代入回归方程可预测该店当日这种食品的销售量为：
（千克）；
（3）由（1）知，
由，可得，
所以


.
14．（2023·全国·高三对口高考）为了解某校学生上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A、B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下表：
支付方式
支付金额（元）


大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A、B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？并说明理由.
【解析】（1）依题意，样本中仅使用A的学生有（人），仅使用B的学生有（人），
A、B两种支付方式都不使用的学生有5人，所以样本中A、B两种支付方式都使用的学生有（人），
从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A、B两种支付方式都使用的概率估计值为.
（2）依题意，X的所有可能值为0，1，2，
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，
事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，
显然事件C与D相互独立，且，，则
；
；
，
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，
从样本仅使用A的学生中随机抽取3人，本月支付金额大于2000元的人数与上月没有变化，
而由上个月的样本数据可得，
结论1：可以认为有变化，
因为很小，概率很小的事件一般不容易发生，一旦发生，
就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化；
结论2：无法确定有没有变化，
因为事件E是随机事件，很小，一般不容易发生，但还是有发生的可能，所以无法确定有没有变化.
15．（2023·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.

(1)求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；
【解析】（1）由题意可得，
，

所以，，.
.
（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，
长度d在的概率
且随机变量ξ服从二项分布，
所以，
，
，
，
所以随机变量ξ分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
.
16．（2023·湖北·高三统考期末）2022年11月21日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为.
(1)求甲队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望；
(2)小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率.
【解析】（1）甲队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6，
则，，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：

0
1
2
3
4
6







随机变量的数学期望：
.
（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.
若每支球队得3分：
则6场比赛都出现平局，其概率为：；
若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，
其概率为：﹒
所以四支球队积分相同的概率为.
17．（2023·广东·高三统考期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份）
12
13
14
15
天数
3
9
12
6
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
【解析】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，

，


，


的分布列为：

24
25
26
27
28
29
30









（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：

（百元）
当每两天生产配送28百份时，利润为：
（百元）
，选择每天生产配送27百份.
18．（2023·河北石家庄·高三统考期末）党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别，，，绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.

(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在的人数为，试求的分布列和数学期望.
【解析】（1）根据直方图可知，成绩在的频率为，
成绩的频率为0.1，小于0.2，
因此获奖的分数线应该介于之间，
设分数线为，使得成绩在的概率为，
即，
可得，
所以获奖分数线划定为86；
（2）应从和两组内分别抽取5人和2人，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为








数学期望.
19．（2023·全国·高三专题练习）单板滑雪U型场地技巧是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如表：
分站
运动员甲的
三次滑行成绩
运动员乙的
三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
86.20
84.03
80.11
88.40
0
第2站
92.80
82.13
86.31
79.32
81.22
88.60
第3站
79.10
0
87.50
89.10
75.36
87.10
第4站
84.02
89.50
86.71
75.13
88.20
81.01
第5站
80.02
79.36
86.00
85.40
87.04
87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？说明理由．
【解析】（1）设“从5站中随机选取1站，该站甲的成绩高于乙的成绩”为事件A．
甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00．
乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70．
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，所以．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



．
（3）答案一：推荐乙．
从5站的成绩可以看出，任意1站甲的成绩高于乙的成绩的概率为，乙的成绩高于甲的成绩的概率为．因为，所以乙的成绩好于甲的成绩的可能性大，所以推荐乙参加．
答案二：推荐乙．
用“”表示任意1站甲的成绩高于乙的成绩，用“”表示任意1站甲的成绩低于乙的成绩，则，，，．
用“”表示任意1站乙的成绩高于甲的成绩，用“”表示任意1站乙的成绩低于甲的成绩，则，，，．
因为，，
所以预测乙的成绩好于甲的成绩，推荐乙参加．
答案三：推荐乙．
设甲5站的平均成绩、乙5站的平均成绩、甲5站成绩的方差、乙5站成绩的方差分别为，，，，
则，
，
，
，
，说明甲、乙二人水平相当，
，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好，推荐乙参加．
答案四：推荐甲．
甲5站的平均成绩为，
乙5站的平均成绩为，
虽然甲、乙5站的平均成绩相同，但是甲成绩的极大值为92.80，乙成绩的极大值为89.10，
甲成绩的极大值大于乙成绩的极大值，所以预测甲的成绩会比乙的更好，推荐甲参加．
答案五：推荐甲．
所有成绩中两人均有一次0分成绩，是持平的，但除此之外，甲低于80分的有2次，乙有3次，甲发挥不理想的次数要少，所以甲失误的可能性小，推荐甲参加．
20．（2023·全国·高三专题练习）某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好地了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：
类型
救死扶伤的医务类
除暴安良的警察类
百花齐放的文化类
公平正义的法律类
人数
30
20
20
30
在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．
(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；
(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数为X，求X的分布列与均值．
【解析】（1）（1）根据题意，设职业体验选择救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类的概率依次为，
则，，，，
则救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类都有选择的概率；
（2）由（1）的结论：选择除暴安良的警察类，
这三名学生中选择除暴安良的警察类型的随机数可能为0、1、2、3，且，
故，
则的分布列如下：

0
1
2
3





则．