易错点16 椭圆（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

易错点16   椭圆

易错点1：焦点位置不确定导致漏解   要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：

易错点2：椭圆的几何性质

易错点3：直线与椭圆的位置关系

（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况

（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。

题组一：椭圆的定义与焦点三角形

1.（2019年全国文科1卷）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】法1：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中，由余弦定理的推论得

,在ΔAF1F2中，由余弦定理得

,,

法2：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n，由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2，由余弦定理得

又因为∠AF2F1和∠BF2F1，

所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得

所以

2.（2019年全国3卷）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为　　．

【答案】

【解析】设M(m,n),m,n>0,由题意得，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|>|MF2|,ΔMF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有

故答案为

3.(2013新课标1)已知圆：，圆：，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心的轨迹为曲线.则的方程为________

【答案】

【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N 内切，所以，由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为：

题组二：椭圆的标准方程

4.（2019新课标2卷）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（   ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【解析】由题意可知:故选D

5.（2017新课标1卷）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1）， P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上，则C的方程是______________。

【解析】由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．

又由知，C不经过点，所以点在C上．

因此，解得．故C的方程为．

6.（2014新课标1卷）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，的方程是____________.

【解析】设F(c,0),由条件知，

，故椭圆E得方程为

题组三：椭圆的几何性质

7．（2021年全国乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足 ，则的离心率的取值范围是（   ）

A. B.    C.      D.

【答案】C

【解析】点坐标为，可以看成以为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点.

即至多一个解，消去x得

,即，,所以.

8．（2021年浙江卷）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆的第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是　  　，椭圆的离心率是　  　．

【答案】；．

【解析】法一（解析几何角度）：设切线方程为

又与椭圆的第一象限交于点P  ，

轴，    ，

，   ．

法二（平面几何角度）：在中，，，

，在中，

，        ．

9．（2017新课标3卷）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）

A．  B．  C．   D．

【答案】A

【解析】由题意可得，原点到直线的距离

所以椭圆C的离心率，故选A.

题组四：直线与椭圆的位置关系

10.（2013新课标2卷）过椭圆M：右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，M的方程为_________

【解析】把右焦点(c,0)代入直线得

设，即

则，则，

联立.故M的方程式为．

11.（2013新课标1卷）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为，则的方程为(  )

A．＋＝1   B．＋＝1  C．＋＝1  D．＋＝1

【解析】设，即

则，则则，

联立,故E的方程式为．

12．（2021年新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足

，记的轨迹为．

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线上．过的两条直线分别交于，两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

【答案】（1）；  （2）．

【解析】（1）由题意可知：轨迹C为实轴为2，焦距为的双曲线的右支．
从而可以直接写出轨迹方程为．

（2）方法一：设T为，直线TAB为.
又，将代入可得：
.
设，则

，.

即.
直线TPQ斜率为t，则有，其中.
由可知，.

方法二：设T为，直线为．，
代入轨迹C中可得：．
整理得．
设，，，，则，
设直线TPQ为，同理，

有，从而，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

1．已知椭圆（）的左焦点为，则

A．         B．          C．           D．

【答案】B

【解析】由题意得：，因为，所以，故选C．

2．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（   ）

A．a2=2b2     B．3a2=4b2       C．a=2b       D．3a=4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B．

3.已知F1，F2是椭圆C: ＋＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，ΔP F1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为(    )

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】直线AP的方程为由∠F1F2P=1200，|PF2|=|F1F2|=2c,则代入直线AP的方程得,故所求椭圆得离心率为

4.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点。若的中点坐标为，则的方程为(  )

A．＋＝1   B．＋＝1  C．＋＝1  D．＋＝1

【答案】D

【解析】设，即

则，则则，

联立,故E的方程式为．

5．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是

A．      B．

C．      D．

【答案】A

【解析】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；

当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，故选A．

6.设是椭圆的左、右焦点， 为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为_____.

【答案】

【解析】如图所示，是底角为的等腰三角形，

则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=300,所以∠PFA=600,

∠F2PF1=300,，

又因为

7.设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.且直线MN的斜率为，则C的离心率为_____

【答案】

【解析】把

，化为

8.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过F1的直线交椭圆于两点，且的周长为16，那么的方程为      。

【答案】

【解析】由题意可得，解得，所以椭圆C的方程是

9.已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为，则k的取值范围是_____.

【答案】

【解析】设，即 .

则，因为点M(1，m)在椭圆内部，

所以，所以．

10．已知，是其左右交点，，直线过点交于两点，在轴上方，且在线段上，

（1）若是上顶点，，求；

（2）若，且原点到直线的距离为，求直线；

（3）证明：对于任意 ，使得的直线有且仅有一条.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）有题可知：，因为，

因为，所以，

所以；

（2）设，其中，

因为，，

所以，

所以，（舍去），所以，

，则直线方程可以设为.

又因为到直线的距离为，

所以，

所以，得或，

当时，直线方程为，此时（舍）

所以直线方程为.

（3）设，，设直线的斜率为，连接，，取中点，

连接，可知为梯形的中线，

因为，令.

由点差法得，得，

化简得，即，

故当当确定时，也就只有唯一与对应，

故对任意时，满足条件的直线只有一条.