2023年广东省深圳中学等校联考中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年广东省深圳中学等校联考中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2023的倒数为( )
A. −2023B. 12023C. −12023D. 2023
2. 如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱(其底面是等腰三角形)，下部是圆柱，画出它的左视图正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 某初三学生6次立定跳远的成绩(单位：cm)如下：180，190，195，175，180，200.则这组数据的中位数是( )
A. 175B. 180C. 185D. 195
4. 2023年3月27日，国际学术期刊《自然，地球科学》刊发的一篇文章称，中英学者在嫦娥五号月球样品中，测量到撞击玻璃珠中的水，科研团队结合月球全球尺度月壤厚度分析，推测出月壤的储水量最高约270000000000吨.数270000000000用科学记数法表示为( )
A. 27×1010B. 2.7×1011C. 27×10−11D. 0.027×1012
5. 下列计算正确的是( )
A. 3a+2b=5abB. 7a+a=7a2
C. 5y−3y=2D. 3x2y−2x2y=x2y
6. 不等式组3x+5<24−x≥1的解集是( )
A. x≥−3B. x<−1C. −17. 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，AC=40cm，则双翼边缘端点C与D之间的距离为( )
A. (60−40csα)cmB. (60−40sinα)cm
C. (60−80csα)cmD. (60−80sinα)cm
8. 下列说法正确的是( )
A. 两点之间，直线最短
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半
9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为( )
A. x=y+100x100=y60B. x=y+100x60=y100C. x=y−100x100=y60D. x=y−100x60=y100
10. 如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC=2，BC= 3，则PM+PC长度的最小值为( )
A. 2 217B. 3 214C. 3 21D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：4m2−16=______．
12. 一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为______．
13. 已知一元二次方程x2+8x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为______ ．
14. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于______．
15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，点F为DE的中点，过点F作DE的垂线分别交AB，CD于点M，N，连接AC交MN于点G，若∠DNG=60°，MN=2 3，则FG的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 计算：(−1)3+ 16−2sin60°−(2023−π)0−|− 3|．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：1−a−2a+4÷a2−4a2+8a+16，其中a= 2−2．
18. (本小题8.0分)
某中学九年(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中m= ______ ，n= ______ ，表示“足球”的扇形的圆心角是______ 度；
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
19. (本小题8.0分)
我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买AB两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用48000元购买A型设备的数量比用30000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设各数量不少于B型设备数量的13，设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与α的函数关系式，并求出最少购买费用．
20. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
(1)求证：AC与⊙O相切于点D．
(2)若BC=3，AC=4，求⊙O的半径．
21. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+2a(a≠0)的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线y=−a交于点B，C(点B在点C的左侧)．
(1)求抛物线y=ax2−4ax+2a(a≠0)的顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”．
①当a=2时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
22. (本小题10.0分)
(1)【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点(不与端点重合)，连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF.并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长BE交DF于点G．
②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF=______°.
(2)【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，CD′，D′E.当CD′⊥DF，AB=2，BC=3时，求CD′的长；
(3)【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD= 3，AC=2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上(顶点除外)时，如果DF=EF，请直接写出此时OF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−2023的倒数为−12023．
故选：C．
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，该图形的左视图正确的是．
故选：B．
根据直三棱柱和圆柱的左视图即可得出结论．
此题考查作图−三视图，关键是根据直三棱柱和圆柱的三视图解答．
3.【答案】C
【解析】解：∵这组数据按照从小到大排列是：175，180，180，190，195，200，
∴这组数据的中位数是180+1902=185(cm)．
故选：C．
根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确题意，利用中位数的知识解答．
4.【答案】B
【解析】解：270000000000=2.7×1011．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并成一项，故本选项计算错误，不符合题意；
B、7a+a=8a，故本选项计算错误，不符合题意；
C、5y−3y=2y，故本选项计算错误，不符合题意；
D、3x2y−2x2y=x2y，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的法则判断即可．
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：3x+5<2①4−x≥1②
解不等式①得x<−1，
解不等式②得x≤3，
∴不等式组的解集为x<−1，
故选：B．
先求出每个不等式的解集，进而根据夹逼原则求解不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，

由题意可得CE=DF，EF=60cm，
在直角三角形ACE中，
CE=AC⋅sinα=40sinα，
∴CD=EF−2CE=(60−80sinα)cm．
故选：D．
作辅助线如图，由题意可得CE=DF，EF=60cm，解直角三角形ACE求出CE=40sinα，然后根据CD=EF−2CE即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：A、两点之间，线段最短，故选项A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故选项B符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故选项D不符合题意；
故选：B．
由线段的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定以及圆周角定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了圆周角定理、线段的性质、线段垂直平分线的性质以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握以上定理和性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
x=y+100x100=y60，
故选：A．
根据走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等，走路快的人走x步和走路慢的人走y步用的时间相等，即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
10.【答案】A
【解析】解：如图：过P作PNAB于N，过C作CH⊥AB，
由作图得：AD平分∠BAC，则PM=PN，
∴PM+PC=PN+PC≥CN≥CH，

在Rt△ABC中，AC=2，BC= 3，
∴AB= 7，
∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CH，
即：2 3= 7CH，
解得CH=2 217，
故选：A．
先根据角平分线的性质把PM进行转化，在根据两点之间线段最短及垂线段最短找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
本题考考查了基本作图，找出最小值是解题的关键．
11.【答案】4(m+2)(m−2)
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】20
【解析】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴55+m=0.2，
解得：m=20．
经检验m=20是原方程的解，
故答案为：20．
利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
13.【答案】16
【解析】解：根据题意得Δ=82−4a=0，
解得a=16．
故答案为：16．
根据根的判别式的意义得到Δ=82−4a=0，然后解关于a的方程即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】−24
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键．
易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】
解：作DE/​/AO，CF⊥AO，设CF=4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB/​/CO，AO/​/BC，
∵DE/​/AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理，S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2(S△DEO+S△CDE)=2S△CDO=40，
∵tan∠AOC=43，
∴OF=3x，
∴OC= OF2+CF2=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO⋅CF=20x2，解得：x= 2，
∴OF=3 2，CF=4 2，
∴点C坐标为(−3 2,4 2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴代入点C得：k=−24，
故答案为−24．
15.【答案】 3
【解析】解：过点M 作MH⊥CD交CD于点H，
∴∠MHN=90°，
∵∠DNG=60°，MN=2 3，
∴HN=MN⋅cs60°=2 3×12= 3，MH=MN⋅sin60°=2 3× 32=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，AB/​/CD，
∴∠MHN=∠ADC=90°，
∴AD//MH，
∴四边形AMHD是矩形，
∴MH=AD=CD=3，DH=AM，
连接EN，
∵点F为DE的中点，MN⊥DE，
∴MN垂直平分DE，
∴EN=DN，DF=EF，∠NFD=90°，
∴∠FDN=180°−∠NFD−∠DNG=30°，
在△DFN和△BFN中，
DN=ENFN=FNDF=EF，
∴△DFN≌△BFN(SSS)，
∴∠FEN=∠FDN=30°，∠ENF=∠DNF=60°，
∴∠ENC=60°，
在△MHN和△DCE中，
∠HMN=∠CDE=30°HM=CD∠MHN=∠DCE=90°，
∴△MHN≌△DCE(ASA)，
∴HN=CE= 3，
在Rt△ECN中，CN=CEtan60∘= 3 3=1，EN=CEsin60∘= 3 32=2，
∴FN=12EN=1，AM=DH=CD−NH−CN=3− 3−1=2− 3，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠AGM=∠CGN，
∴△AMG∽△CNG，
∴AMCN=MGNG，
∴2− 31=MG2 3−MG，
∴MG=4 3−63− 3= 3−1，
∴FG=MN−MG−NF=2 3−( 3−1)−1= 3，
故答案为： 3．
过点M 作MH⊥CD交CD于点H，利用特殊角的三角函数值求出HN= 3，MH=3，再根据正方形的性质和矩形的性质，得到MH=AD=CD=3，DH=AM，连接EN，根据平分线的性质，易证△DFN≌△BFN(SSS)，进而证明△MHN≌△DCE(ASA)，得到CE= 3，利用特殊角的三角函数值求出CN=1，EN=2，进而得到FN=1，AM=DH=2− 3，然后证明△AMG∽△CNG，得到AMCN=MGNG，进而求得MG= 3−1，即可求出FG的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，灵活运用三角函数值求边长是解题关键．
16.【答案】解：原式=−1+4−2× 32−1− 3
=−1+4− 3−1− 3
=2−2 3．
【解析】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和计算零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
17.【答案】解：1−a−2a+4÷a2−4a2+8a+16
=1−a−2a+4⋅(a+4)2(a+2)(a−2)
=1−a+4a+2
=a+2−a−4a+2
=−2a+2，
当a= 2−2时，原式=−2 2−2+2=− 2．
【解析】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
18.【答案】10 20 72
【解析】解：(1)本次调查的学生人数为12÷30%=40(人)，
选择足球的学生人数为40−4−12−16=8(人)．
补全条形统计图如图．

(2)m%=440×100%=10%，
n%=840×100%=20%，
m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是360°×20%=72°．
故答案为：10；20；72．
(3)设4名学生中3名男生分别记为A，B，C，1名女生记为D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果有AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率为612=12．
(1)用选择篮球的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，再用本次调查的学生人数分别减去选择排球、篮球、乒乓球的学生人数，可求出选择足球的学生人数，补全条形统计图即可．
(2)用选择排球的学生人数除以调查总人数再乘以100%，可得m%，同理可得n%，用360°乘以n%，即可求出“足球”的扇形的圆心角度数．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及选出的2名学生恰好是1男1女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为(1+20%)x元，
根据题意，得：48000x(1+20%)−30000x=5，
解得x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解且符合题意，
(1+20%)x=1.2×2000=2400(元)，
答：A型设备的单价为2400元，B型设备的单价为2000元；
(2)根据题意，得a≥13(60−a)，
解得a≥15，
由题意得：w=2400a+2000(60−a)
=400a+120000，
∵400>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=15时，w最小，
w最小=400×15+120000
=126000(元)．
答：w与a的函数关系式为w=400a+120000，最少购买费用为126000元．
【解析】(1)设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为(1+20%)x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
(2)根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握题意列出关系式，根据一次函数增减性判断最小值是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，

∵点O在BD的垂直平分线上，
∴OD=OB，
∴OD是⊙O的半径，∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BC
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°
∴OD⊥AC且OD为⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切于点D；
(2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= 32+42=5，
由(1)得OD/​/BC，
∴△AOD∽△ABC
∴ODBC=AOAB，
设⊙O的半径为r，
∴r3=5−r5，
解得r=158，
∴⊙O的半径为158．
【解析】(1)连接OD，由垂直平分线的性质可知，OD=OB，易知OD是⊙O的半径D，由BD平分∠ABC，可知∠ABD=∠CBD，进而得OD/​/BC，可知∠ODA=90°，易知OD⊥AC，得证AC与⊙O相切于点D；
(2)由(1)易证△AOD∽△ABC，可得ODBC=AOAB.设⊙O的半径为r，则r3=5−r5，解出方程即可得⊙O的半径．
本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，通过作辅助线，与圆心相连是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵y=ax2−4ax+2a=a(x−2)2−2a，
∴顶点为(2,−2a)；
(2)①∵a=2，
∴y=2x2−8x+4，y=−2，
∴A(0,4)，C(1,−2)，
∴有6个整数点；
(3)当a>0时，抛物线定点经过(2,−2)时，a=1，
抛物线定点经过(2,−1)时，a=12，
∴12当a<0时，抛物线定点经过(2,2)时，a=−1，
抛物线定点经过(2,1)时，a=−12，
∴−1≤a≤−12；
综上所述：12【解析】(1)由抛物线解析式直接可求；
(2)由已知可知A(0,4)，C(3,−2)，画出函数图象，观察图象可得；
(3)分两种情况求：当a>0时，抛物线定点经过(2,−2)时，a=1，抛物线定点经过(2,−1)时，a=12，则12本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
22.【答案】(1)①证明：如图1，延长BE交DF于点G，由对称可知，∠EGD=∠EGD′=90°，
∵∠DEG=∠BEC，
∴∠EBC=∠EDF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，
在△BCE和△DCF中，
∠EBC=∠FDCBC=DC∠BCE=∠DCF,
∴△BCE≌△DCF(ASA)．
②22.5;
(2)解：如图2，延长BE交DF于点G，
由对称可知，点G是DD′的中点，∠EGD=∠EGD′=90°，
∵CD′⊥DF，
∴CD′//BG，
∴EG是△DCD′的中位线，
∴点E是CD的中点，
∴CE=DE=12CD=12×2=1，
∴BE= BC2+CE2= 32+12= 10，
由(1)①得，∠EBC=∠EDG，∠ECB=∠EGD=90°，
∴△ECB∽△EGD，
∴ECEG=BCDG=BEDE，
∴1EG=3DG= 101，
∴EG= 1010，
∵EG是△DCD′的中位线，
∴CD′=2EG=2× 1010= 105．
(3)OF的长为 22或 24．
【解析】(1)①见答案
②解：如图1，当点D′与点F重合时，由对称可知∠DBE=∠D′BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠DBE=∠D′BE=22.5°，
由①得到∠CDF=∠EBD′，
∴∠CDF=22.5°，
故答案为：22.5．
(2)见答案;
(3)以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，
①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，
由(1)①可得，∠GDF=∠OAF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，∠ODC=∠ODA，
∴∠OAF=∠ODA，
又∵∠AOF=∠DOA，
∴△AOF∽△DOA
即OFAO=AOOD，
∵AC=2，
∴OA=1，
∵AD= 3，
∴OD= 2，
∴OF1=1 2
∴OF= 22；
②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD=90°，∠DAG=∠EAG=12∠DAE，
∵AD=AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABO=12∠ABE，AD/​/∠BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠ABO=∠DAG，
在△AGD和△BOA中，∠AGD=∠BOA∠DAG=∠ABOAD=BA,
∴△AGD≌△BOA(AAS)，
∴DG=AO=1，AG=BO= 2，
∴AO=DG，
∵∠FAO=∠FDG，∠FOA=∠FGD，
∴△FOA≌△FGD(ASA)，
∴OF=FG，
设OF=FG=x，则DF= 2−x，
在Rt△DFG中，DF2=GF2+DG2，
∴( 2−x)2=x2+12，
解得：x= 24，
∴OF= 24，
综上所述，OF的长为 22或 24．
(1)①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD=∠EGD′=90°，结合∠DEG=∠BEC得到∠EBC=∠EDF，根据正方形从而证明△BCE≌△DCF(ASA)；
②当点D′与点F重合时，由对称可知∠DBG=∠D′BG=22.5°，然后由①得到∠EDF=∠EBC=22.5°；
(2)延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD′的中点、∠EGD=∠EGD′=90°，结合CD′⊥DF得到CD′//BG，从而有EG是△DCD′的中位线，从而求得CE=DE=1，再由勾股定理求得BE的长，再判定△ECB∽△EGD，利用其性质求EG，然后由中位线的性质求得CD′的长；
(3)以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助(1)(2)的思路求解．
本题考查了矩形、正方形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是常考题型．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率ba
0.190
0.202
0.199
0.200
…