2023年广东省深圳中学等三十校联考中考数学模拟试卷（含答案）

2023年广东省深圳中学等三十校联考中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授子年轻的数学家下面数据是部分获奖者获奖时的年龄单位：岁：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 相等的两个角是对顶角
C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形

7.  北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  二次函数与一次函数的图象在同一直角坐标系中图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          

12.  如图，小明行李箱密码锁的密码是由“，，”这三个数组合而成的三位数不同数位上的数字不同，现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______ ．

13.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，点的坐标是，点的坐标是，边与轴平行，反比例函数过点，则的值为______ ．

15.  如图，矩形中，，为上一点，点关于的对称点落在矩形内的处连接，当时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为：手抄报；：演讲；：社区宣传；：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动每人必选一项的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；
请将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，类活动对应扇形的圆心角为多少度？
若该校有名学生，估计该校最喜欢类活动的学生有多少？

19.  本小题分
为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共花费元，购买棵甲种树苗比棵乙种树苗多花费元．
求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．

20.  本小题分
某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表：

其中， ______ ；
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
进一步探究函数图象，直接写出：
方程的实数根有______ 个；
关于的方程有个实数根时，则的取值范围是______ ．

21.  本小题分
已知平面直角坐标系中的点和，的半径是，交轴于点，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“弦中点”．
如图，已知点；
点，，中是关于的“弦中点”的是        ；
若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求的值；
如图，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出的取值范围．
 

22.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接．
【尝试初探】
如图，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
【深入探究】
如图，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
【拓展延伸】
如图，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，故A正确．
B、与不能合并，故B错误．
C、原式，故C错误．
D、原式，故D错误．
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
把这些数从小到大排列为，，，，，，
中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，则，故A错误，不符合题意；
相等的两个角不一定是对顶角，B错误，不符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于这条弦，故C错误，不符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故D正确，符合题意；
故选：．
由不等式性质，对顶角性质，垂径定理的推论，矩形的判定逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念与定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长交直线于点，

，
，
，
，
故选：．
延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
解得，，
可见直线与抛物线的交点一个在轴上，一个交点的横坐标为，且抛物线过原点，观察选项，只有选项C符合题意．
故选：．
根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答．
本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，解题的关键是明确函数的性质，利用数形结合的思想解答问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，，

四边形是正方形，，
，
，
，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
即，
，
又，，
≌，
，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
，
故选：．
在上截取，则，证明≌，得出，进而证明，即可证明≌，得出，即当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求解即可．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，作于，连接并延长交于，连接，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
根据对称性可得，，，
在中，，，
，
设，
在中，由勾股定理得，
，
，
故选：．
连接，作于，连接并延长交于，连接，可由推出，进而求得，，，，，再在中列方程求得．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：共有、、、、、这种等可能结果，其中正确的只有种结果，
现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为．
故答案为：．
根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出
．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：点的坐标是，点的坐标是，
，
四边形是菱形，
，，
边与轴平行，
轴，
，
反比例函数过点，
，
故答案为：．
由、的坐标求出菱形的边长，进而求出，即可求得点，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于点，连接，

点、关于对称，
，，
，
，
，
，
∽，
，
设，，过点作于，
点、关于对称，
，，
，
，
，
，
，
，
是中位线，
，
在中，，
，
大于长度，舍去，，
．
故答案为：．
延长交于点，连接，根据矩形和轴对称的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得，设，，过点作于，由三角形中位线的性质及勾股定理可得答案．
此题考查的是矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识，关键是掌握实数的运算法则．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

18.【答案】解：；
对应人数为人，
补全条形图如下：

，
类活动对应扇形的圆心角为度；
人，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有人． 

【解析】解：本次共调查的学生有人；
故答案为：；
对应人数为人，
补全条形图如下：

，
类活动对应扇形的圆心角为度；
人，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有人．
由的人数及其所占百分比可得总人数；
根据四个活动人数之和等于总人数可得的人数，从而补全图形；
乘以样本中人数所占百分比即可；
用乘以类活动的百分比即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

19.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，
，
解得，
根据题意：，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
此时，
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，花费最少． 

【解析】设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，可得：，即可解得甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，得，而，由一次函数性质可得购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，花费最少．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 

20.【答案】     

【解析】解：根据函数的对称性，，
故答案为：；

描点画出如下函数图象：


从图象上看函数与轴有个交点，故对应方程有个根，
故答案为：；
有个实数根时，即和有个交点，
从图象看，此时，
故答案为：．
根据函数的对称性即可求解；
描点画出函数图象即可；
从图象上看函数与轴有个交点，故对应方程有个根，即可求解；
有个实数根时，即和有个交点，从图象看，此时．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

21.【答案】， 

【解析】解：作直线，

点是弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
点，在该圆上，
点，是关于的“弦中点”，
故答案为：，；
由可知，点在以为圆心，为半径的圆上，
设圆心，
直线上只存在一个关于的“弦中点”，
直线与圆相切，
过点作垂直直线交于点，

直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
∽，
，
，
解得；
由可知，点在以为直径的圆上，
直线上存在关于的“弦中点”，
直线与圆相交或相切，
过点作直线交于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，

，
，
，
圆的半径为，
，
，
，
，
，
过点作直线交于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
圆的半径为，
，
，
的取值范围为．
作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
由可知，点在以为圆心，为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明∽，根据相似三角形的性质即可求解；
由可知，点在以为直径的圆上，由题意可得直线与圆相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围．
本题是圆的综合题，考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的轨迹是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，≌，理由如下：
与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌；

如图，过点作于点，

是边长为的等边三角形，，
，，，
，
，
，
由得，≌，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
与都是等边三角形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
，
设，
则，
，
，是边长为的等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
点在的延长线上，
，
，
，
即． 

【解析】根据等边三角形的性质，利用即可证明≌；
过点作于点，由可说明，从而得出∽，进而解决问题；
过点作于点，由同理得≌，再说明∽，得，设，则，在中，运用勾股定理列方程即可解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型是解题的关键．