2022-2023学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．_________

【答案】

【分析】利用诱导公式，直接计算结果.

【详解】.

故答案为：

2．且角与终边相同，则角α等于 _______度.

【答案】

【分析】任意角表示出，结合其所在的范围确定其大小即可.

【详解】由题设且，又，

所以时，.

故答案为：

3．函数的最小正周期为_______________.

【答案】

【分析】利用正切函数的周期公式即可解决问题．

【详解】解：由正切函数的周期公式得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查正切函数的周期性，易错点在于而不是，属于基础题．

4．若，则__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式求值即可.

【详解】.

故答案为：

5．已知角α的终边过点，则角α的余弦值为________.

【答案】/

【分析】根据终边上的点坐标，应用三角函数的定义求余弦值即可.

【详解】由三角函数的定义知：.

故答案为：

6．扇形的圆心角为 ，半径长为2，则此扇形的面积为________.

【答案】/

【分析】利用扇形面积公式求面积即可.

【详解】由题设，圆心角，半径，

扇形面积为.

故答案为：

7．函数的值域是________．

【答案】

【分析】将函数配凑为，根据即可求解.

【详解】解：因为，

又，

所以，

所以，

所以，

故答案为：.

8．已知，则____________________________．

【答案】

【分析】分子、分母同除以，将代入化简即可.

【详解】因为，

所以,

故答案为.

【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

9．已知，则_________

【答案】

【分析】原式两边平方后，即可计算的值.

【详解】因为，两边平方后，

，

所以.

故答案为：

10．设函数，若对任意，都有成立，则的最小值为______.

【答案】2

【分析】由题意可得，的最小值等于函数的半个周期，由此得到答案．

【详解】由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，

故的最小值等于函数的半个周期，为T•，

故答案为 ．

【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及最值，熟记函数的基本性质和周期，准确计算是关键，属于中档题．

11．已知函数在上的最大值为2，则实数a 的值为________.

【答案】

【分析】首先排除的情况，再考虑端点处函数值，最后利用辅助角公式得，根据最大值求得，再验证是否满足题设，即可得结果.

【详解】由，显然时最大值不为2，

当时,;当时,

当时,此时最大值为，舍去；所以函数最大值不可能在端点处取得；

当，由且，，此时，

此时，要使函数最大值为2，则，故，

当时，，，此时有最大值2；

当时，，，此时最大值不为2；

综上，.

故答案为：

12．已知函数且，给出下列四个命题：

（1）该函数的值域为；

（2）当且仅当时，；

（3）对任意，恒成立.

上述命题中正确的序号是 ________

【答案】（2）（3）

【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可.

【详解】由，即，

所以，

由，即，

所以，

综上，且，

则在一个周期的图象如下：

由图知：值域为，该周期内的区间为，

故恒有，（1）错，（2）对；

当，时，；

当时，；

当时，；

综上，任意，恒成立，（3）对.

故答案为：（2）（3）

二、单选题

13．已知点在第四象限，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】由点的位置可确定的符号，根据符号可确定角终边的位置.

【详解】在第四象限，，位于第三象限.

故选：C.

14．函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

【答案】B

【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可.

【详解】由，故该函数为偶函数.

故选：B

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b 、c， 若 则该三角形一定是（    ）

A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】利用正弦边角关系及倍角正弦公式可得，结合三角形内角性质有或，即可判断形状.

【详解】由正弦边角关系知：，则，即，

又，所以或，即或，

所以三角形一定是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（    ）

A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称

B．关于直线成轴对称，且以2π为周期

C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心

D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称

【答案】C

【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可.

【详解】当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时；

当时，；

综上，在一个周期内的，

在一个周期内的图象如下：

由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为.

故选：C

三、解答题

17．已知点是角终边上的点，，，求：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据三角函数的定义求；

（2）利用两角差的余弦公式求解.

【详解】（1）角终边上一点，，

；

（2）由（1）可知，

因为，，，

.

18．已知函数 .

(1) 求的最小正周期和单调递增区间；

(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.

【答案】(1)，单调递增区间为.(2).

【详解】试题分析：

(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.

(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.

试题解析：

(1)

，

最小正周期，

函数的单调递增区间满足：，

解得的单调递增区间为.

(2)，所以，

，

所以的值域为.

而，所以，即.

点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．

第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．

第三步：求出所求函数的值域(或最值)．

19．对于函数且.

(1)求函数的定义域D；

(2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期.

【答案】(1)

(2)π不是的周期，证明见解析

【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域；

（2）只需判断、是否成立即可.

【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域.

（2）由，故π不是的周期；

由，故2π是的一个周期；

20．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.

(1)求∠ABC 的正弦值；

(2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.

【答案】(1)

(2)海里

【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值；

（2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离.

【详解】（1）由题设，，，，

在△中，，则；

（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，

由，

所以海里.

21．对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数；

(1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)；

(2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由；

(3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围.

【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数；

（2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值；

（3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围.

【详解】（1）由在上为增函数，而在上为减函数，

故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数；

由在上为增函数，在上也为增函数，

故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数；

（2）由在上为增函数，要使也是增函数，且，

而在，上递增，且，

所以，，故，，故.

（3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且，

若，，

当，则，故，，

当，如，则，故，，

若，，

如，则，故，，

此时，要使α、β取遍所有值，则，而；

又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且，

若，，

当时，则，故，，

当，如，则，故，，

若，，

如，则，故，，

此时，要使α、β取遍所有值，则，而；

综上，，而在上值域为，

所以.

【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数.