2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-教师用卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.     

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．

【解答】

解：．

故选：．

2.  设全集，集合，，则   

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查集合的混合运算，属于基础题．

先求出集合的补集，再求并集即可．

【解答】

解：，，，故选A．

3.  如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为，则该零件的表面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了三视图，属于基础题．

【解答】

解：由三视图可得零件的直观图为

所以该零件的表面积为

故选  

4.  在中，内角，，的对边分别是，，若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，属于基础题．

先由正弦定理将边化为角，再利用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角和定理可求出的大小．

【解答】

解：由正弦定理得，
所以，所以，
又，
解得，故选C．

5.  已知是偶函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了偶函数的性质，属于基础题．

利用偶函数的性质，即可求出．

【解答】

解：因为是偶函数，

所以，

所以．

故选  

6.  正方形的边长是，是的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了求向量的数量积，属于基础题．

建立平面直角坐标系，分别求出，利用向量数量积的坐标运算即可求出．

【解答】

解：以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，

则，，，

所以

所以，

故选：  

7.  设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了几何概型的计算，属于基础题．

根据条件求出满足条件的区域面积，即可求．

【解答】

解：如图区域为环状区域

随机取一点，的倾斜角不大于，

则点落在阴影较深的部分，占环状面积，

故所求概率为．

故选：  

8.  函数存在个零点，则的取值范围是．(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的零点，涉及单调性与极值，属于中档题．

根据函数存在个零点，得出函数的极大值必大于，极小值小于，令求出极值点，代入即可求解．

【解答】

解：由已知，，

函数存在个零点，

令，则必有个不相等的实数根，，

，

．

解得：．

故选：．

9.  某学校举办作文比赛，共个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的概率计算，属于基础题．
先列举出所有可能情况，再数出甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的情况，由古典概型即可求解．

【解答】

解：设六个主题作文分别编号为，，，，，，甲乙两位同学抽主题的情况有，，，，，，，，，，，，，共有种，而甲乙主题不同的共有种，所以所求概率，故选  

10.  已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，是基础题．

先由题意求出函数的周期，得到的值，再由单调区间即可求解．

【解答】

解：由题意，函数的最小正周期满足，解得，不妨取，即，

当时，取得最小值，则

可取，则  

故选：

11.  已知实数，满足，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程和点到直线距离公式的应用，属于中档题．
方法一可以利用直线与圆的位置关系求解，方法二可以利用三角代换进行求解．

【解答】

解：方法一

可化为，

点为以为圆心，为半径的圆上的点．

令，即，

如图，要使最大或最小，只需直线与以上圆相切即可，

，解得．

的最大值是．

方法二

，

设，，

则，

的最大值是．

故选C．

12.  设，为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查直线与双曲线的位置关系，属中档题．

由选项可确定直线斜率存在，设出直线方程，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，得出的不等关系，利用根与系数关系，得出及的关系，带入选项进行验证即可．

【解答】

解：当直线斜率不存在时，线段中点在轴上，即线段中点的纵坐标为，选项不满足；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

，，的中点为，则

联立，则，

，即，

故

，，

，故，即，故排除；

当时，，，带入成立，故 D正确；

同理可验证点与不成立．

故选D．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点在抛物线上，则到的准线的距离为          

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程、几何性质，属于基础题．

代入点，可得抛物线的方程，进而得准线方程，即可得解．

【解答】

解：点在抛物线上，

，得，得抛物线的准线方程是，

则到的准线的距离为，

故答案为  

14.  若则          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的公式，属于基础题．

 根据同角三角函数的公式，联立方程，求出即可得到答案

【解答】

解：因为故有 ，

解得，，

故答案为．

15.  若，满足约束条件，则的最大值为          ．

【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查线性规划中最值问题，属于基础题．

画出不等式组表示区域，目标函数变形为，根据图形可得最大值．

【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图

由点，，围成的三角形区域包括边界，

目标函数变形为，在点处取得最大值．

故答案为．

16.  已知点，，，均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则           ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查球的切接问题，涉及线面垂直，属于较难题．

根据题意先作出的外心，找出球心，然后根据边长关系计算求解即可．

【解答】

解：如图所示，作出的外心 ，则球心与的连线与平行，

，
，
由题知，

作出平面图，设，
则由边长关系可得：，解得，

则

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.  某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：

记，记的样本平均数为，样本方差为．

求，．

判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高．

【答案】解：由题意的取值为：

则，

．

因为，，即成立，

所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

【解析】本题考查了样本平均数、方差的计算，以及给定判断条件下的样本关联对比，属于基础题．

依题意列出的取值，根据平均数和方差公式直接计算即可；

根据给出的判断条件，结合中得到的平均数和方差，直接代入即可判断．

18.  记为等差数列的前项和，已知，

求的通项公式

求数列的前项和

【答案】解：设等差数列的公差为，

则，解得，

所以，

当时，，

当时，，，，

，

综上所述， 

【解析】本题考查等差数列的通项公式以及求和公式，属于中档题．

根据等差数列的通项公式及前项和，列方程组求出首项与公差，即可求出通项公式；

分与两种情况讨论，再分别计算即可．

19.  如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，

证明：平面；

若三棱锥的体积．

【答案】证明：连结，
设，则，，
因为，
故
解得，即为的中点．
因为，，，的中点分别为，，，

所以，，
则，平面，平面

平面．

连结、、

由知为的中点，

，且
因为，的中点为，
所以，，
所以平面
 

，
点到面的距离为三棱锥与三棱锥共同的高．

因为，故．

【解析】本题考查了空间中线线、线面、面面之间的平行与垂直关系，以及三棱锥体积的计算．

问中需结合条件得出点的位置为的中点，从而进一步，得出与平面的平行．
问中需先求出直线与平面垂直，从而可以先得出三棱锥的体积，再利用三棱锥与三棱锥之间的体积关系得出三棱锥的体积．

20.  已知函数．

当时，求曲线在点处的切线方程．

若函数在单调递增，求的取值范围．

【答案】解：时，，

又，故，即所求切线斜率为，

在处的切线方程为：，

因为函数在单调递增，

所以在恒成立，即在恒成立，
令，
则，
当时，恒成立，即单调递增，故，此时在不恒成立，不合题意．
当时，恒成立，即单调递增，故，此时在不恒成立，不合题意．

当时，令，得，
若，即时，，即在上单调递减，，此时在恒成立，符合题意；
若，即时，当单调递增，，此时在不恒成立，不合题意；
综上的取值范围为．

【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数根据函数得单调性求参，属于较难题．

根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即可求出；

根据题意构造函数然后分类讨论求解即可．

21.  已知椭圆的离心率为，点在椭圆上

求的方程

过点的直线交椭圆于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．

【答案】解：由题知：，由，，解得：，，

故的方程为：

易知的斜率存在且小于，设直线的方程为，

联立整理得：，

，设，，则

，又，

故直线方程为：，令，得，同理：，

故的中点为，所以中点为定点得证．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的定点问题，属于综合题．

由椭圆的几何性质可得标准方程．

设直线的方程，由直线、的方程得点、点的坐标，化简得结果．

22.  在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，，

写出的直角坐标方程；

若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围．

【答案】解：由，可得的直角坐标方程为：，，，是以为圆心，为半径的右上方圆

曲线为参数，，可知曲线的标准方程为：，，，

是以为圆心，为半径的左上方圆，如下图所示，

若直线既与没有公共点，也与没有公共点，

可知，或，可知或 

【解析】本题考查极坐标与参数方程，考查直线与圆的的位置关系，属于中档题．

直接利用转换关系，把极坐标方程转化为直接坐标方程；

直线和两曲线没有公共点，可数形结合确立位置关系，进行求解即可．

23.  已知

求不等式的解集

在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积。

【答案】解：当时，原不等式等价于，解得

当时，原不等式等价于，解得

当时，原不等式等价于，解得

综上，原不等式的解集是．

由题意可得，

根据不等式组可以得到如下图

则所确定的平面区域的面积为． 

【解析】本题考查分类讨论解绝对值不等式和不等式组表示的区域面积，属于中档题．

根据的取值范围分类讨论求解不等式；

先将不等式组化简，再根据不等式组做出所构成的图形，再数形结合求得不等式组所表示的平面区域的面积．