2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理科）-教师用卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查共轭复数，复数的运算，属于基础题．

利用复数的运算化简求出，可得．

【解答】

解：因为，

所以．

故选  

2.  设集合，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．

先求出，，，，即可逐项求出．

【解答】

解：因为，集合，

所以，，，，

所以，，，

故选  

3.  如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为，则该零件的表面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了三视图，属于基础题．

【解答】

解：由三视图可得零件的直观图为

所以该零件的表面积为

故选  

4.  已知是偶函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了偶函数的性质，属于基础题．

利用偶函数的性质，即可求出．

【解答】

解：因为是偶函数，

所以，

所以．

故选  

5.  设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了几何概型的计算，属于基础题．

根据条件求出满足条件的区域面积，即可求．

【解答】

解：如图区域为环状区域

随机取一点，的倾斜角不大于，

则点落在阴影较深的部分，占环状面积，

故所求概率为．

故选：  

6.  已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，是基础题．

先由题意求出函数的周期，得到的值，再由单调区间即可求解．

【解答】

解：由题意，函数的最小正周期满足，解得，不妨取，即，

当时，取得最小值，则

可取，则  

故选：

7.  甲乙两位同学从种课外读物中各自选读种，则这两人选读的课外读物中恰有种相同的选法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查组合与组合数公式的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．

甲乙两位同学从种课外读物中各自选读种，选出相同的种的选法有种，甲从剩下的种中任选一种，乙从剩下的种中任选一种，再由分步乘法原理求解．

【解答】

解：这两人选读的课外读物中恰有种相同的选法有，故选：

8.  已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积的求法，涉及到了余弦定理，属于中档题．

利用余弦定理先求出，然后构造求出圆锥的高，结合体积公式计算即可．

【解答】

解：在中，，由可得，

作于点，由可知是的中点，可得，

又，所以，

由，可得，
所以，

所以圆锥的体积

故选．

9.  已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查求线面角的三角函数值，考查空间想象与运算求解能力，属于中档题．

利用二面角的定义，确定为二面角的平面角；利用余弦定理解，求出；设出点到平面的距离，利用间接法，求出直线与平面所成角的正弦值，从而求出其正切值．

【解答】

解：取中点，连接，

则，

故为二面角的平面角，即，

平面，

平面，

设，则，

在中，，

即，

设点到平面的距离为，

则，即

，

设直线与平面所成角为，则，．

故选C．

10.  已知等差数列的公差为，集合，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，三角函数的周期性，结合等差数列的公差为，写出等差数列的通项公式，集合中只有两个元素，可发现数列的取值符合对称性关系，即可进而求解．

【解答】

解：，，该余弦函数周期，

要使集合中只有两个元素，则可想到利用对称性取数，如，，，或，，，，，代入算得：，故选  

11.  设，为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查直线与双曲线的位置关系，属中档题．

由选项可确定直线斜率存在，设出直线方程，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，得出的不等关系，利用根与系数关系，得出及的关系，带入选项进行验证即可．

【解答】

解：当直线斜率不存在时，线段中点在轴上，即线段中点的纵坐标为，选项不满足；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

，，的中点为，则

联立，则，

，即，

故

，，

，故，即，故排除；

当时，，，带入成立，故 D正确；

同理可验证点与不成立．

故选D．

12.  已知圆的半径为，与圆相切，切点为，过点的直线与圆交于，两点，为的中点，，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积的运算，涉及三角恒等变换的运用和余弦型函数的最值问题，属于较难题．

通过设角将向量的数量积用三角函数表示，化简整理后求余弦型函数的最值即可求解．

【解答】

解：设，易知

由题意：，

，故当，即时，

，最大，为．

故选：．

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.  已知点在抛物线上，则到的准线的距离为          

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程、几何性质，属于基础题．

代入点，可得抛物线的方程，进而得准线方程，即可得解．

【解答】

解：点在抛物线上，

，得，得抛物线的准线方程是，

则到的准线的距离为，

故答案为  

14.  若，满足约束条件，则的最大值为          

【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查线性规划中最值问题，属于基础题．

画出不等式组表示区域，目标函数变形为，根据图形可得最大值．

【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图

由点，，围成的三角形区域包括边界，

目标函数变形为，在点处取得最大值．

故答案为．

15.  已知为等比数列，则          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

主要考查了等比数列性质，以及数列基本量的运算。属于基础题．

先设公比，用，分别表示出已知量。先求，再求．

【解答】

解：设公比为，，，，故．

，，故，则

故答案为．

三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）

16.  设，若函数在上单调递增，则的取值范围是          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数由函数的单调性求参，属较难题．

求出，构造函数，得，从而求得的取值范围．

【解答】

解：由题得，
，

令，

又，则，，

于是可知在上单调递增，

则，即，亦即，

解得，

故答案为： 

17.  某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：

记，记的样本平均数为，样本方差为．

求，．

判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高．

【答案】解：由题意的取值为：

则，

．

因为，，即成立，

所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

【解析】本题考查了样本平均数、方差的计算，以及给定判断条件下的样本关联对比，属于基础题．

依题意列出的取值，根据平均数和方差公式直接计算即可；

根据给出的判断条件，结合中得到的平均数和方差，直接代入即可判断．

18.  在中，，，．

求；

若为上一点，且，求的面积．

【答案】解：由余弦定理可知：，故．

，又，

．

由知，，可得，

点为上一点，且，，

，

在中，，

则．

【解析】本题考查正余弦定理和解三角形，属于基础题．

分析题目条件，先后用余弦定理、同角正余弦的关系即可求解；

根据题意，已知，，要求面积只需求出长即可，而可在中结合的三角函数值和边求出．

19.  如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，．

证明：平面；

证明：平面平面；

求二面角的大小．

【答案】解：证明：连结，
 

设，则，，因为，

故

解得，即为的中点．

因为，，，的中点分别为，，，

所以，，则，平面，平面，

平面．

由知，，得

故，故，所以，又，，
，所以平面，又，所以平面平面；

过点作交于点，，且，
故为二面角的平面角．

设，为三角形的重心，所以，
 

得，同理可得．

，故，可得，

，，

由余弦定理得，二面角的大小为．

【解析】本题考查了空间中线线、线面、面面之间的平行与垂直关系，以及二面角的相关知识．

问中需结合条件得出点的位置为的中点，从而进一步得，得出与平面的平行．

问中需结合条件中相关线的长度得出，进一步结合条件，

得出线面垂直，得出平面平面．

问中需先作出二面角的平面角，结合余弦定理和重心得出相应线的长度，从而求出二面角的平面角．

20.  已知椭圆的离心率为，点在椭圆上

求的方程

过点的直线交椭圆于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．

【答案】解：由题知：，由，，解得：，，

故的方程为：

易知的斜率存在且小于，设直线的方程为，

联立整理得：，

，设，，则

，又，

故直线方程为：，令，得，同理：，

故的中点为，所以中点为定点得证．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的定点问题，属于综合题．

由椭圆的几何性质可得标准方程．

设直线的方程，由直线、的方程得点、点的坐标，化简得结果．

21.  已知函数

当时，求曲线在点处的切线方程

是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；

若在存在极值，求的取值范围

【答案】解：时，，

又，故，即所求切线斜率为，

在处的切线方程为：，

存在，，使得曲线关于直线对称

，定义域为

要使函数的图像关于对称，则由且知：，

此时：的图像关于对称，

则，，得：，

故得：．

令下面证明时，

，

所以，存在，，使得关于直线对称

，
由在区间存在极值点，则在区间上在在变号零点
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上在在变号零点，
，，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意
当，时，由于，所以，在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，据此可得成立，
则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，即取等条件为，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知：在区间上存在唯一零点．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，

令，则，
则单调递减，注意到，
故当时，，从而有，
所以

，
令得，所以，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意．
综上可知：实数的取值范围为

【解析】本题考查导数的几何意义、函数的对称性、函数的极值，属于拔高题．

根据导数的几何意义为切线斜率，利用点斜式即可求出；

根据函数对称性性质可得，满足方程，即可求解；

根据函数在存在极值，可得相应导数方程有正根，参变分离后求函数值域即可．

22.  在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，，

写出的直角坐标方程；

若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围．

【答案】解：由，可得的直角坐标方程为：，，，是以为圆心，为半径的右上方圆

曲线为参数，，可知曲线的标准方程为：，，，

是以为圆心，为半径的左上方圆，如下图所示，

若直线既与没有公共点，也与没有公共点，

可知，或，可知或 

【解析】本题考查极坐标与参数方程，考查直线与圆的的位置关系，属于中档题．

直接利用转换关系，把极坐标方程转化为直接坐标方程；

直线和两曲线没有公共点，可数形结合确立位置关系，进行求解即可．

23.  已知

求不等式的解集

在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积。

【答案】解：当时，原不等式等价于，解得

当时，原不等式等价于，解得

当时，原不等式等价于，解得

综上，原不等式的解集是．

由题意可得，

根据不等式组可以得到如下图

则所确定的平面区域的面积为． 

【解析】本题考查分类讨论解绝对值不等式和不等式组表示的区域面积，属于中档题．

根据的取值范围分类讨论求解不等式；

先将不等式组化简，再根据不等式组做出所构成的图形，再数形结合求得不等式组所表示的平面区域的面积．