初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式精品习题

专题3.4  乘法公式（知识解读）

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题

【知识点梳理】

知识点1：平方差公式

平方差公式： 

语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

知识点2：平方差公式的特征

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2

知识点3：完全平方公式

   完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍

注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

；；

    ；.

【典例分析】

【考点1：平方差公式】

【典例1】用平方差公式计算：

（1）（1+x）（1﹣x）；         （2）（a+3b）（a﹣3b）；

（3）（3+2a）（3﹣2a）；      （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．

【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．

【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．

【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（　　）

A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） 

C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）

【典例2】用简便方法计算下列各题：

（1）992；

（2）1022﹣101×103．

【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2×20212﹣1

【变式2-2】简便计算：

（1）20222﹣2020×2024；      （2）1882﹣376×88+882．

【考点2：平方差公式的几何背景】

【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　　（请选择正确的一个）．

A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2

B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

C．a2+ab＝a（a+b）

（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；

（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

【变式3-2】乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 　   　；如图2，阴影部分的面积是              ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 　                  　；

（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①103×97；               ②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．

【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）探究：上述操作能验证的等式是 　                   　．

（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．

【考点3：完全平方公式】

【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：

（1）（3a+b）2                        （2）（x﹣2y）2

（3）（﹣x﹣y）2                     （4）1992．

【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．

【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．

【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．

【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（　　）

A．±18 B．±9 C．9 D．18

【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（　　）

A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．±2

【考点4：完全平方公式的几何背景】

【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的正方形的边长是 　 　；（用含a、b的式子表示）

（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；

（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．

【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．

（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 　      　；

（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 　    　张．

【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（　　）

A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 

C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2

【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；

解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；

（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　 　；

②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　  　．

（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．

【考点5：完全平方公式拓展运用】

【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．

（1）求x2+y2的值；

（2）求（x﹣y）2的值．

【变式7-1】（2022春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．

【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）（x﹣y）2．

【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：

（1）xy；

（2）x﹣y．