数学选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程导学案

2.3.2　圆的一般方程

(教师独具内容)

课程标准：1.掌握圆的一般方程的形式.2.会判断一个二元二次方程是不是圆的一般方程，并会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化.3.会用待定系数法求圆的一般方程．

学法指导：通过探求圆的一般方程的过程，掌握圆的一般方程的特点，并能够根据具体条件，选用圆的一般方程解决问题．

教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点．

教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题.

根据圆的标准方程，指出方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形，方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？在平面直角坐标系中画出相应的几何图形．观察上述图形，你能想到圆的方程有怎样的特点？

知识点　　　　圆的一般方程

(1)圆的一般方程的定义

①当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为.

②当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.

③当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．

(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：

判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要“两看”：

一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0；

二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．(　　)

(2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．(　　)

(3)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　)

(4)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)表示圆．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________.

(2)过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________.

(3)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________.

(4)若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________.

答案　(1)(2，－3)　(2)x2＋y2－3x－4y＝0　(3)m<1　(4)1

题型一　圆的一般方程的定义

例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，

解得m<，故m的取值范围为.

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.

二元二次方程与圆的关系

(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．

(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长．

[跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径．

(1)x2＋y2＋x＋1＝0；

(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；

(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．

解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，

∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，

∴方程(1)不表示任何图形．

(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，

∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，

∴方程(2)表示点(－a,0)．

(3)两边同除以2，得

x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，

∴D2＋E2－4F＝2a2>0，

∴方程(3)表示圆，它的圆心为，

半径r＝＝|a|.

题型二　求圆的一般方程

例2　已知Rt△ABC的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C在y轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)Rt△ABC外接圆的一般方程．

[解]　(1)设点C(0，m)，由题意得

kAB·kBC＝－1，且kAB＝＝－，

所以kBC＝＝，

解得m＝3，所以点C(0,3)．

(2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意知解得

所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0.

[解法探究]　本例(2)还有其他解法吗？

解　因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4,4)，

半径为r＝＝，

所以所求方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17，

即x2＋y2－8x－8y＋15＝0.

应用待定系数法求圆的方程的选择

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F.

[跟踪训练2]　根据下列条件求圆的一般方程．

(1)已知A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求△ABC外接圆的一般方程；

(2)已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A(2,1)，求圆C的一般方程．

解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意知解得

∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.

(2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意知解得

∴圆的一般方程为x2＋y2－x－y＝0.

1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为(　　)

A．(0，－1)  B．(1，－1)

C．(－1，－1)  D．(0,1)

答案　A

解析　把圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝1－k2，r2＝1－k2，∴S＝πr2＝π＝π，∴k＝0，∴圆心坐标为(0，－1)．

2．(多选)已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的直线的方程是(　　)

A．4x－y＋1＝0  B．2x＋y＋1＝0

C．4x＋y－1＝0  D．2x＋y－1＝0

答案　BC

解析　圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心坐标为(1，－3)，经检验B，C中直线过圆心．

3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________.

答案　

解析　D＝1，E＝m－1，F＝m2，∵r＝，

∴4r2＝1＋(m－1)2－2m2＝－(m＋1)2＋3≤3，∴r2≤，∴S＝πr2≤，最大面积为.

4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

答案　(－2，－4)　5

解析　方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即2＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.

5．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.

(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；

(2)求圆M的方程．

解　(1)解法一：由B(2,0)，C(0，－4)，

知BC的中点D的坐标为(1，－2)．

又A(－3,0)，所以直线AD的方程为＝，

即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，

则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC．

因为直线BC的斜率kBC＝2，

所以直线AD的斜率kAD＝－，

由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为y－0＝－(x＋3)，即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.

(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，

得解得

所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是(　　)

A．圆  B．直线

C．点  D．以上都不对

答案　A

解析　方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1可化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0，则D＝2，E＝3，F＝－，所以D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0，所以方程表示圆．故选A．

2．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，则(　　)

A．D＝0，E＝0，F≠0  B．F＝0，D≠0，E≠0

C．D＝0，F＝0，E≠0  D．E＝0，F＝0，D≠0

答案　C

解析　∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，∴D＝0，F＝0，E≠0.

3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x＋4y＝0  B．x2＋y2＋2x＋4y＝0

C．x2＋y2＋2x－4y＝0  D．x2＋y2－2x－4y＝0

答案　C

解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.

4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r的圆，所以a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a)＝－3a2－12a>0，即a(a＋4)<0，所以－4<a<0.又该圆圆心坐标为，所以圆心位于第四象限．

5．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)

A．圆M的圆心坐标为(4，－3)

B．圆M的半径为25

C．点(2，－3)在圆M的内部

D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8,0)

答案　ACD

解析　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；将点(2，－3)代入圆M的一般方程，得22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8,0)，D正确．故选ACD.

二、填空题

6．已知圆C：x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋2a－1＝0的圆心到直线l：x－y－1＝0的距离为，则a的值为________.

答案　－

解析　∵圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝1－2a，圆心(a，－a)，r＝.设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，解得a＝或－，又∵1－2a>0，∴a＝－.

7．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b对称，则a－b的取值范围是________.

答案　(－∞，1)

解析　将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故圆心坐标为(－1,2)，半径长为.由题意知，直线y＝2x＋b过圆心(－1，2)，∴2＝2×(－1)＋b，∴b＝4.∵此圆的半径长为，∴a<5，∴a－b<1.

8．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB的长度为________，弦AB所对的圆心角为________.

答案　4　90°

解析　将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，令y＝0，得x＝0或x＝4，所以A(0,0)，B(4,0)，|AB|＝4.因为半径为2，所以|CA|＝|CB|＝2，所以|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，因此弦AB所对的圆心角为90°.

三、解答题

9．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．

(1)若P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．

解　(1)由点P在圆C上，得

m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m＝4.

∴点P的坐标为(4,5)．

故|PQ|＝＝2，

kPQ＝＝.

∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为.

(2)由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点．

又圆心C(2,7)，半径R＝2，|QC|＝4，

∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2.

10．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．

解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.

由题设，知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，

所以D＋E＝－2.①

又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上，

所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②

1＋9－D＋3E＋F＝0，③

由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.

B级：“四能”提升训练

1．设△ABC的顶点为A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．

(1)求圆M的方程；

(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．

解　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，

∴解得

∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.

(2)当a变化时，圆M过定点(0，－3)．理由如下：

圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0，

由解得x＝0，y＝－3.

∴圆M过定点(0，－3)．

2．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，

∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，

由二次函数的图像解得－<t<1.

(2)由(1)知r＝＝ ，

∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是2＋2＝.

(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，

∴8t2－6t<0，

∴0<t<.