高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）课堂检测

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域

一、复合函数的概念

如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，

则当时，函数为与在上的复合函数，

其中叫做内层函数，叫做外层函数

二、复合函数的单调性

1、复合函数单调性的规律：“同增异减”

若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；

若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数

2、具体判断步骤

（1）求出原函数的定义域；

（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；

（3）分析内层函数和外层函数的单调性；

（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论.

三、指数型复合函数值域的求法

1、形如（，且）的函数求值域

借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，

但要注意“新元”的范围

2、形如（，且）的函数求值域

借助换元法：令，先求出的值域，

再利用的单调性求出的值域。

四、对数型复合函数值域的求法

1、形如（，且）的函数求值域

借助换元法：令，先求出的值域，

再利用在上的单调性，再求出的值域。

2、形如（，且）的函数的值域

借助换元法：令，先求出的值域，

再利用的单调性求出的值域。

题型一 复合函数的单调性判断

【例1】（多选）函数在下列哪些区间内单调递减（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】ACD

【解析】由题意，函数在上单调递减，

又由函数在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

结合选项，可得选项符合题意.

故选：ACD.

【变式1-1】求函数的单调区间___________.

【答案】增区间为，减区间为

【解析】设t＝>0，

又在上单调递减，在上单调递增.

令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.

而函数t＝在R上单调递减，

所以函数的增区间为，减区间为.

故答案为：增区间为，减区间为

【变式1-2】函数的单调递减区间为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由得：，即定义域为；

令，则在上单调递增，在上单调递减；

又在上单调递减，

的单调递减区间为.故选：B.

【变式1-3】函数的单调增区间是______．

【答案】

【解析】由，得，

所以函数的定义域为，

令，则，

因为在上递增，在上递减，而在上为增函数，

所以在上递增，在上递减，

故答案为：

题型二 根据复合函数的单调性求参数

【例2】若函数在单调递减，则a的取值范围（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】依题意函数在单调递减，

在上递减，

的开口向上，对称轴为，

根据复合函数单调性同增异减可知，.故选：C

【变式2-1】若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，

二次函数开口向上，对称轴为

所以，即

故答案为：

【变式2-2】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】二次函数的对称轴为，

由已知，应有，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，

即，解得．

故答案为：

【变式2-3】若函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为在单调递减，

所以，函数在单调递减，且函数值非负，

所以函数在是单调递增且，

故 ，解得，故选：C

【变式2-4】已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】因为对任意且，不等式恒成立，

所以在上单调递减，

因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，

又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，

可得，解得，

综上可得；，所以实数的取值范围为.

【变式2-5】已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】，

则，

令，由，所以，

令，

因为在区间上是增函数，

所以在也是增函数，

所以，

则，即故选：A.

题型三 复合函数的值域求解

【例3】函数的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】令，则，

因为在R上单调递减，所以，

故函数的值域为，故选：C

【变式3-1】函数在上的值域为___________.

【答案】

【解析】

∵则令，在递增

∴

【变式3-2】已知函数，则其值域为___________.

【答案】

【解析】令，∵，∴，

∴，

又关于对称，

即时，函数取得最小值，即，

即时，函数取得最大值，即，

,.

【变式3-3】已知函数，求的单调区间及最大值．

【答案】单调递增区间为，单调递减区间为；

【解析】由得：，的定义域为；

，

令，则在上单调递增，在上单调递减，

又在定义域内单调递增，

由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；

由单调性可知：.

【变式3-4】已知．

（1）设，求t的最大值与最小值；

（2）求的值域．

【答案】（1），；（2）[3，4].

【解析】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的，

所以当时，，

当时，．

（2）令，则，

由（1）得，因为函数在上是单调增函数，

所以当，即时，；当，即时，，

故的值域为.

【变式3-5】已知函数，求函数在上的最小值．

【答案】

【解析】设，由得，

，，

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，，

综上．

【变式3-6】已知函数，若，求在区间上的最大值．

【答案】.

【解析】令，即求在区间上的最大值．

当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，

函数在区间上单调递增，则；

②当时，即当时，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因为，，，

则；

③当时，即当时，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

此时，，则；

④当时，即当时，函数在区间上单调递减，

所以，.

综上所述，.

题型四 根据复合函数的值域求解

【例4】若函数的最大值是2，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由在定义域上递减，

要使有最大值，则在定义域上先减后增，

当，则的最小值为，

所以，可得.故选：A

【变式4-1】已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，

当时，函数显然不存在最大值；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数有最大值，即，解得；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

此时函数无最大值，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

由在上恒成立，可得；

由在上恒成立，即在上恒成立，可得；

由在上恒成立，即在上恒成立，

令，可得函数在上单调递增，所以，即，

综上可得，即实数的取值范围是.故选：A.

【变式4-2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（    ）

A．3        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为函数是偶函数，

所以，即，

所以，

其中，

所以，解得，所以，

所以，

故函数的最小值为．

令，则，

故函数的最小值为

等价于的最小值为，

等价于或，

解得．故A，C，D错误.故选：B．

【变式4-3】函数没有最小值， 则的取值范围是______．

【答案】

【解析】令，则外函数为，

因为在定义域上单调递增，

要使函数没有最小值，

即的值域能够取到，且不恒小于等于，

当时，符合题意，

当时开口向下，

只需，解得，即；

当时开口向上，

只需，解得，即；

综上可得，即.

【变式4-4】已知函数，若的值域为R，求实数m的取值范围.

【答案】

【解析】由的值域为R，可得能取内的一切值，

故函数的图象与x轴有公共点，

所以，解得或．

故实数m的取值范围为．