2023年江苏省苏州市工业园区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市工业园区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．九章算术中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步．若走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？注：步为长度单位”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格：

如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，是其中个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：______．

10.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位后，得到的点的坐标是______ ．

11.  若关于的方程的一个根为，则的值为______ ．

12.  已知一个圆锥的底面圆半径是，母线长是则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是______
 

13.  有一组数据：，，，，，它们的平均数是，则这组数据的方差为______．

14.  如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为______ ．

 

15.  如图，在中，，，与轴交于点，，点在反比例函数的图象上，且轴平分，则的值为______．

16.  如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的交于点，则线段的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共10小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
已知，求的值．

20.  本小题分
为进一步巩固“青年大学习”网上主题团课学习成果，某校计划开展团课学习知识竞赛活动．竞赛试题共有、、三组，小云和小敏两位同学都将参加本次团课学习知识竞赛．
小云抽中组试题的概率是______；
利用画树状图或列表的方法，求小云和小敏抽到的是同一组试题的概率．

21.  本小题分
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
 

求证：；

若，，求的度数．

22.  本小题分
年，中国航天继续“超级模式”：全面建成空间站、宇航发射次数“”某中学科技兴趣小组为了解本校学生对我国航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：

此次调查中接受调查的人数为______人；
补全图条形统计图；
扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______
该校共有人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？

23.  本小题分
古诗云：“烟花三月下扬州”，每年的春季是扬州旅游的最佳时间为吸引游客，扬州润扬湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，．
白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度结果精确到；
傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度结果精确到．
参考数据：，，，
 

24.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以元个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量个与售价元个满足一次函数关系：

线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的；线上售价为元个，供不应求．
求与的函数表达式；
若该经销商共购进“冰墩墩”个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？不计其它成本
 

26.  本小题分
如图，抛物线交轴于、两点点在点的左侧，．
求抛物线的函数表达式；
如图，连接，点在抛物线上，且求点的坐标；
如图，是抛物线上一点，为射线上的一点，且、两点均在第一象限内，、是位于直线同侧的不同两点，，点到轴的距离为，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

 

27.  本小题分
如图，在四边形中，，，点在边上，，点是边上一动点．以为斜边作，若点在四边形的边上，则称点是线段的“勾股点”．
如图，线段的中点到的距离是______．
A.
B.
C.
D.
如图，当时，求的长度．
是否存在点，使线段恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
所以的相反数是；
故选：．
根据互为相反数的定义即可判定选择项．
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得选项C的图形．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
本题主要考查了判断简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．
【解答】
解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.与，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设走路快的人要走步才能追上，由走路快的人走步所用时间内比走路慢的人多行步，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】
解：设走路快的人要走步才能追上，则走路慢的人走，
依题意，得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、中位数和众数．
利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．
【解答】
解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均数、众数可能发生变化，数据的波动性变小，方差变小，而个数据按由小到大排列，最中间的一个数没有变化，所以数据的中位数一定不发生变化．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，，
，
即，
解得：，
故选：．
如图，由，，，可得，计算求解即可．
本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等，掌握角度之间的数量关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，经过点、的直线则把它剪成了面积相等的两部分，

由图形可知≌≌，
，
，
，
，
故选：．
如图，根据≌≌，可知，利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了图形的剪拼，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出分割线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位后，横坐标加，所以平移后点的坐标为．
故答案为：．
根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是．
故答案为：．
设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的平均数是，
，
解得，．
，
故答案为：．
根据算术平均数的计算公式求出的值，根据方差的计算公式计算即可．
本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．先求出点的坐标，由题意可得每次旋转为一个循环，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，即可得出答案．
【解答】
解：，
每旋转次为一个循环，
即第次旋转结束时，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同．的位置如图所示，

过点作轴于点，连接，，
由旋转得，≌，
点，
，
四边形为正方形，
，
，
四边形是菱形，
，
≌，
，，
点的坐标为，则点的坐标为
故答案为  

15.【答案】 

【解析】解：过作轴，垂足为，
，
，
，
∽，
，
，
；
又轴平分，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
，

．
故答案为：．
作轴的垂线，构造相似三角形，利用和可以求出的横坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质的性质求的坐标，依据在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
点在以点为直径的上，
的半径为，
当点、、共线时，最小，延长，过点作交的延长线于点，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，连接，根据是的直径，得到，根据邻补角的定义得到，根据圆周角定理得到点在以为直径的上，推出当点、、共线时，最小，如图，延长，过点作交的延长线于点，求出的长度，进而求出的长度，利用勾股定理求出，即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理计算线段的长度，确定点的运动规律，把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：方程两边同乘以得：
，
解整式方程得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为． 

【解析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．
先两边同乘以化为整式方程：，解整式方程得，再检验即可得答案．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】计算绝对值、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
原式

． 

【解析】此题主要考查了整式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
 

20.【答案】 

【解析】解：小云抽中组试题的概率是，
故答案为：．
画树状图如图：

共有个等可能的结果，其中小云和小敏抽到的是同一组试题的结果数为，
小云和小敏抽到的是同一组试题的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
，
．
≌，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
 

22.【答案】   

【解析】解：此次调查中接受调查的人数为：人，
故答案为：；

非常关注的人数有：人，
补全统计图如图所示：


扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为：，
故答案为：；

根据题意得：
人，
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有人．
根据比较关注的人数和所占的百分比即可得出调查的总人数；
用总人数减去其它调查的人数，求出非常关注的人数，从而补全统计图；
乘以“关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
样本估计总体，样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比，乘以该校人数人即可求解．
此题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

23.【答案】解：在中，，，
，
，
．
答：遮阳伞宽度是．
当时，此时设，
过点作于点，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
从减少到，点下降的高度为


，
点下降高度为． 

【解析】先根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后根据对称性可求出的长度．
当时，此时设，根据锐角三角函数的定义可求出，分别代入的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理，本题属于基础题型．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
解：连接，

由得，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；
连接，先证得∽，再根据可得，，从而得，然后由勾股定理可得答案．
 

25.【答案】解：设与的函数表达式为，
则，
解得：，
与的函数表达式为；
当线下销量为个时，线上销量为个，
设全部售完后获得的利润为元，
根据题意得：，
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的，
，
解得：，
，对称轴为，
当时，有最大值，最大值为，
此时线下销售量为个，线上销售量为个．
答：线下销售个，线上销售个时可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】设出与的函数表达式为，然后用待定系数法求函数解析式即可；
根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值以及此时线上、线下的销售量．
本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式．
 

26.【答案】解：把代入抛物线，
得或，
点在点的左侧，
，，



抛物线的函数表达式为：；
如图，作线段的垂直平分线交轴于点，此时

，
，
，

，
，
，
设，，
，，
，，
，
在中，
，
解得，
，


即，
解得，

点的坐标为；
的为定值，定值为
，，点到轴的距离为
，


和同底，
点、到直线的距离相等，
，
，，


，
≌，

的为定值，定值为． 

【解析】把代入抛物线解析式，得或，所以，，侧，再根据，求出，即得到函数解析式；
作线段的垂直平分线交轴于点，此时，设，，根据，得到关于的方程，求出，即得出坐标；
先求出，可知，再证明≌，得出，所以的为定值，定值为．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
 

27.【答案】解：；
过点作交的延长线于点，

点是线段的“勾股点”，
，
，
又，
∽，
，
，
；
当且或时，线段恰好有两个“勾股点”． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股点”，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解并运用新定义是解题的关键．
，过点作交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作于点，连接，证明≌，得出，由勾股定理求出，证明，得出，则可得出结论；
过点作交的延长线于点，证明∽，由相似三角形的性质可得出，则可得出答案；
由题意画出图形，根据圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】
解：如图，过点作交的延长线于点，过点作，垂足为，过点作于点，连接，

，，，
≌，
，
，，
，
，，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：；
见答案
如图，以为直径的圆经过点时，此时线段恰好有两个“勾股点”，

，
，
，
，
如图，当时，线段有一个“勾股点”，

当且时，线段恰好有两个“勾股点”；
如图，当以为直径的圆经过点和时，此时线段恰好有两个“勾股点”，

．
综上所述，当且或时，线段恰好有两个“勾股点”．
故答案为：当且或时，线段恰好有两个“勾股点”．