高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时练习

课时跟踪检测 （二十三） 球的表面积和体积

层级(一)　“四基”落实练

1．直径为6的球的表面积和体积分别是              (　　)

A．144π，144π　　　　　 B．144π，36π

C．36π，144π   D．36π，36π

解析：选D　因为半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝πR3＝×27＝36π.故选D.

2．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 (　　)

A．3 cm   B．6 cm

C．8 cm   D．12 cm

解析：选D　由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.故选D.

3．若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为        (　　)

A．1∶9   B．1∶27

C．1∶3   D．1∶1

解析：选A　由表面积公式知，两球的表面积之比为R∶R＝1∶9.故选A.

4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是        (　　)

A．S正方体>S球   B．S正方体<S球

C．S正方体＝S球   D．无法确定

解析：选A　设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝ ，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.故选A.

5．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　)

A.π cm3   B.π cm3

C.π cm3   D.π cm3

解析：选D　由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.故选D.

6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．

解析：设新的底面半径为r，由题意得

×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，

解得r2＝7，所以r＝.

答案：

7．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．

解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得②；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得③；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得①，只要是过球心就不可能截出④.

答案：①②③

8.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记  圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.

答案：

9．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．

解：设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球的半径为R，如图．

因为O′A＝××2＝.

在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，

所以R2＝2＋R2，

所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.

层级(二)　能力提升练

1．一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为        (　　)

A．144π cm3   B．288π cm3

C．576π cm3   D．864π cm3

解析：选B　飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的，∴飞虫活动范围的体积为××π×123＝288π(cm3)．故选B.

2．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3 cm，高为10 cm)，共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm2(损耗忽略不计)．

解析：圆柱形容器的体积为V圆柱＝π×32×10＝90π.

设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为

V棒棒糖＝πr3＝＝π，

解得r＝，∴S表＝4πr2＝4π×＝9π.

答案：9π

3．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．

解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.

答案：

4.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为 10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积．

解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V长方体＝10×8×15＝1 200(cm3)．

又V半球＝×πR3＝×π×3＝π(cm3)，

所以所求几何体体积

V＝V长方体＋V半球＝cm3.

因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，

故所求几何体的表面积

S＝S长方体全＋S半球－S半球底＝cm2.

所以该组合体的体积为cm3，表面积为cm2.

5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，   求球的体积．

解：如图所示，作出轴截面，球心O与边BC，AC分别相切于点D，    E.

连接AD，OE.

∵△ABC是正三角形，

∴CD＝AC.

∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.

∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm.

设OE＝r，则AO＝－r，

∴＝，∴r＝ cm.

∴V球＝π×3＝π(cm3)，即球的体积为π cm3.

层级(三)　素养培优练

1．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图②所示，已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝                                                                      (　　)

A．2   B.

C.   D．1

解析：选C　设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S＝×4πR2＋2πRh＝πR2，解得h＝R，∴V1＝πR2h＝πR3，V2＝×πR3＝πR3，∴＝.

2.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 cm，高8 cm (不含杯脚)，已知 水的高度是4 cm，现往杯子中放入一种直径为1 cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变，如果放完珍珠后水不溢出，求最多可以放入珍珠的个数．

解：如图，等腰△ABC中，底边AB＝6 cm，高CD＝8 cm；等腰△CEF中，底边为EF，高CP＝4 cm.

∵△CAB∽△CEF，

∴＝，即＝，∴EF＝3，

∴放入珍珠的最大体积为V＝π×32×8－π×2×4＝21π.

∵一颗珍珠体积为π×3＝，＝126，

∴最多放入珍珠126颗．