四川省乐山市2020届高三第三次调查研究考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com乐山市高中2020届第三次调查研究考试

理科数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

用列举法写出集合，即可求出.

【详解】易知，所以.

故选:B.

【点睛】本题考查了集合的并集运算.

2. 已知复数（为虚数单位，），则“”是“在复平面内复数所对应的点位于第一象限”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断.

【详解】复数，所以在复平面内对应的点坐标为，

若，则，或都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；

若在复平面内复数所对应的点位于第一象限，有可得，可得，而所以是必要条件，

综上可知， “”是“在复平面内复数所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，

故选:B

【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.

3. 已知函数是奇函数，且时，，则（    ）.

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质计算可得；

【详解】解：因为是奇函数，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题.

4. 已知，，，则、、的大小关系是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质分别求出、、的范围，即可比较大小；

【详解】解：由题得，，

，故有，

故选：B.

【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题.

5. 已知向量与向量平行，，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.

【详解】设，且，，

由得，即，①，由，②，

所以，解得，因此，.

故选：B

【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

6. 支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的列联表：

附表及公式：，

则下列结论正确的是（    ）.

A. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”

B. 在犯错的概率超过的前提下，认为“支付方式与性别有关”

C. 有以上的把握认为“支付方式与性别有关”

D. 有以上的把握认为“支付方式与性别无关”

【答案】C

【解析】

【分析】

本题首先可以根据题意得出、、以及，然后将其带入中，最后通过计算并与表中数据进行对比即可得出结果.

【详解】由列联表得到，，，，

代入，

解得，

因为，

所以有以上的把握认为“支付方式与性别有关”，

故选：C.

【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，能否明确、、、所对应的数字是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.

7. 秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入，，依次输入为1，2，4，则输出的的值为（    ）.

A. 4 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件后可得结论．

【详解】输入时，，，此时不成立；

输入时，，，此时不成立；

输入时，，，此时成立；

输出的的值为12，

故选：D.

【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察程序中变量值的变化，得出结论．

8. 数列中，已知对任意，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用数列的前项和与通项的关系求解可得,进而得到为等比数列,首项,公比为,再利用等比数列的求和公式求解即可.

【详解】    ①

当,    ②

①-②得,又符合.

为等比数列,首项,公比为,

为等比数列,首项,公比为,

故.

故选：A

【点睛】本题主要考查了数列的前项和与通项的关系以及等比数列的求和公式,属于中档题.

9. 双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点在不等式表示的区域内，即可求得的不等关系，据此求得离心率范围.

【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，

且“右”区域由不等式组 确定，

∵点(2,1)在“右”区域内，

∴，即，

∴，

即双曲线离心率e的取值范围是．

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.

10. 已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

如图A（2，0），在RT△BOC中，

|BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，
∴△ABC的面积为S（x）= |BC||AC|≥0，
所以排除C、D；
选项A、B的区别是△ABC的面积为S（x）何时取到最大值？
下面结合选项A、B中的图象利用特值验证：
当x=时，△ABC的面积为S（x）=×2×2=2，
当x=时，|BC|=2|sin|= ，|OC|=2|cos|=则|AC|=2+∴△ABC的面积为S（x）=×× =+1＞2，
综上可知，答案B的图象正确，
故选B．

点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，以及选择题的解题方法：排除法和特值法，考查了数形结合思想，属于中档题．

11. 已知是球的内接三棱锥，球的半径为2，且，， ，则点到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可得为直径，则中点即为球心，可得.由，可得为正三角形. 取中心，则.在中求出，即可求点到平面的距离.

【详解】由题意知四点都在球面上，且为直径，中点即为球心，如图所示

，，，，

又，为正三角形.

取中心，连接.

则面，.

可求得，，.

又因为中点为，所以点到面的距离为点到面的距离的2倍，

即距离为.

故选：.

点睛】本题考查点面距，属于中档题.

12. 已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可得，是要求解关于对称轴对称两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式，再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，再通过叠加法表示出，结合数列通项公式求和即可

【详解】函数，令，可得，

即函数的对称轴方程为，又的周期为，

令，可得，所以函数在上有29条对称轴，

根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）

将以上各式相加得

答案选A

【点睛】本题考查复合型正弦函数零点的个数问题，而相邻两个零点之间等于中间对称轴数值的两倍这个条件至关重要，通过每两个相邻零点叠加的方式，可表示出，难点在于确定对称轴的条数问题，最后一条对称轴是函数的最大值点，所以取第28条确定对称轴数值为非常关键，后续通过数列的通项求和最终求得数值．本题整体综合性强，对于逻辑性与推理性，运算能力都有较高要求

二、填空题：

13. 已知函数，则函数在处的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出导函数，令可求得，再计算出，由点斜式写出直线方程，整理成一般式．

【详解】因为，则，得，

则，

故切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算，属于基础题．求切线方程时要区别在某点处的切线和过某点的切线．

14. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成.如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

设拼成的正方形的面积为1，计算出阴影部分的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】解：设拼成的正方形的面积为1，

由图知，最大的三角形面积为，最小的三角形面积为，

平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，

由此可得阴影部分的面积为，则所求的概率为.

故答案为：

【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.

15. 已知椭圆的左焦点为，、分别为的右顶点和上顶点，直线与直线的交点为，若，且的面积为，则椭圆的标准方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】

依题意可得，且（为坐标原点），所以，从而得到，，，再根据的面积计算可得；

【详解】解：由，且（为坐标原点），

得，所以，，，

又因为，解得，

所以，，故椭圆的标准方程为.

故答案为：

【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，数形结合思想，属于基础题.

16. 我们把一系列向量按次序排列成一列，称之为向量列，记作.已知向量列满足：，，设表示向量与的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用数量积公式得出，进而得出，从而得出，利用定义证明的单调性，求出其最小值，再解不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】

所以，故，

令

则

所以单调递增，所以，则

因为，所以，则

解得

综上所述，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，涉及了判断数列的增减性，向量的数量积公式的应用，属于较难题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据需求作答.

（一）必考题

17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求角的值；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由，利用平方关系得到，再由正弦定理将角转化为边，得到，然后利用余弦定理求得角B.

（2）结合（1）及，，由余弦定理求得，再由求解.

【详解】（1）因为，

所以，

由正弦定理得，即，

所以，

因为，

所以.

（2）由（1）得，

即，

所以，即，

所以.

【点睛】本题主要考查平方关系，正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18. 为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量.

（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重试污染区AQI平均值；

（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在内.

①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；

②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI值不小于200的天数的分布列和数学期望.

【答案】（1）（2）①②详见解析

【解析】

【分析】

（1）设重度污染区AQI平均值为,根据每日9个监测站测得的AQI总值进行求解即可；

（2）①由频率分布直方图可得AQI在不小于140的不同区间的频数,再根据11月份仅有1天AQI在内,即可获得AQI不小于150的频数,进而求解；

②由①, AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,则的所有可能取值为0,1,2,

进而根据超几何分布求解分布列和期望

【详解】解:（1）设重度污染区AQI平均值为,

则,解得.

（2）①AQI在上的有天,

AQI在上的有天,

AQI在上的有天,

因为11月份仅有1天AQI在内,

所以11月份AQI不小于150的共天,

即能参加户外活动的概率为.

②由①,AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,

则的所有可能取值为0,1,2,

所以,,,

所以的分布列为:

则.

【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查利用频率分布直方图求频数,考查超几何分布的分布列和期望.

19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.

（1）证明：平面；

（2）当二面角的余弦值为时，证明：.

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）取中点，连，可证四边形为平行四边形，得到，即可证明结论；

（2）不妨设，如下图建立空间直角坐标系，设，得到坐标， 求出平面的法向量坐标，取平面法向量为，根据已知求出，证明即可.

【详解】（1）如图，取中点，连，

因为是的中点，所以，

在直三棱柱中，，

因为是中点，所以，

所以四边形为平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，

设，，，，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，

所以平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

所以，

此时，，

所以，即.

【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面平行、异面直线垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

20. 已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.

（1）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在，直线的方程为；定值为

【解析】

【分析】

（1）设，，直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后，用将表示出来即可.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入，得，然后将表示出来即可.

【详解】（1）依题意，点的坐标为，可设，，

直线的方程为，与联立得.

由韦达定理得：，，

于是，

所以当时，面积最小值，最小值为.

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，

则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入，得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为，，

则，，于是有

.

当，即时，为定值.

故满足条件的直线存在，其方程为.

【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值及弦长的定值问题，属于中档题.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内，求的最小值.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）存在两个零点，，且，，详见解析；的最小值为3

【解析】

【分析】

（1）函数求导，根据二次函数的性质分 ，三种情况分类讨论求解..

（2）当时，，当时，单调递增，，，则，故不存在零点；然后从定义域入手，分，，，四种情况分类讨论求解.

【详解】（1）的定义域为，

，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，，所以在上单调递增；

当时，令，得，（舍）.

当时，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，

当时，单调递增，，，则，故不存在零点；

当时，，在上单调递减，

所以，，

所以，单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，，

所以单调递减，

又，，

所以存在，使得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又，，

因此，在上恒成立，故不存在零点.

当时，，所以单调递减，

因为，所以，单调递减，

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，故不存在零点.

综上，存在两个零点，，且，，

因此的最小值为3.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.

（二）选考题

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知是曲线上任意两点，且，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程为：，再根据转化为极坐标方程即可．

（2）利用极坐标系，设其中，利用极径的几何意义、三角形面积公式和三角函数的性质，可得答案．

【详解】解：（1）消去参数，得到曲线的标准方程为：，
 

故曲线的极坐标方程为．

（2）极坐标系中，不妨设，其中.

由（1）知：

面积，

当时，即有最大值，此时.

故面积的最大值为.

【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程与极坐标方程互化，考查了利用极坐标解决面积最值问题，属基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知，，为正数，且满足.

（1）证明：.

（2）证明：.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；

【解析】

【分析】

(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．

【详解】证明：（1）因为，为正数，所以，

同理可得，，

所以，

当且仅当时，等号成立

故.

（2）要证，只需证

即证，

即证，

即证.

因为，，，

所以，

当且仅当，，时，等号成立，从而得证.

【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．

综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．

分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．