2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题（解析版）

2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可以求出集合,然后进行交集、补集的运算即可．

【详解】

此题考查集合的基本运算,考查学生求解二次不等式的一个易错点,属于较易题.由题知,则,则.

故选:.

【点睛】

本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算,考查了计算能力,难度容易．

2．.已知，对应的复数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据向量的减法坐标公式，解得坐标，再写出对应的复数和其共轭复数.

【详解】

由题可知，

故对应的复数为，

则，

故选：D.

【点睛】

此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.

3．的展开式中，含的系数为（    ）

A．80 B． C．40 D．

【答案】A

【解析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值，即可求得展开式中含的系数．

【详解】

依题意可知,,故含系数为.

故选:.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易.

4．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有（    ）

A．30名 B．40名 C．50名 D．60名

【答案】B

【解析】根据面积之和为1，计算出所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可.

【详解】

由题知，成绩在内的学生所占的频率为，

所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名，

故选：B.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.

5．函数的零点之和为（）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】A

【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程，的根，解方程后再将两根相加即可得解.

【详解】

解：令，解得，

令，解得，

则函数的零点之和为，

故选A.

【点睛】

本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.

6．我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若满足约束条件，则该小组最多选拔学生（    ）

A．21名 B．16名 C．13名 D．11名

【答案】B

【解析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数，数形结合即可求得.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：

目标函数，求得，

观察可知，当直线过点时，有最大值16，

故选：B.

【点睛】

本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题.

7．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由对数性质可知,则,由,可知,由,可知,则,进而可知,即可得出.

【详解】

由题易知，故，又因为，即，即.故选:.

【点睛】

此题考查对数的基本性质、不等式的基本性质,逻辑推理能力等,难度一般.

8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.

【详解】

时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.

9．已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（）

A． B． C．10 D．20

【答案】C

【解析】由已知可得，可得，可得平面四边形的面积．

【详解】

由向量正交分解的定义可知，，，则，.因为，所以，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力．

10．函数的部分图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先由奇偶性的概念，判断是偶函数，排除C、D；再由，的正负，排除B，进而可得出结果.

【详解】

因为，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除C、D；

当时，，，，

即，故排除B，

选A。

【点睛】

本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，三角函数的图象及其性质，对数函数的性质等，即可，属于常考题型.

11．已知函数，令函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】构造新函数，问题转化为与有两个交点，作出，利用数学结合思想，即可求得结果.

【详解】

令，

当时，函数，

由得得，得，

由得得，得，

当值趋向于正无穷大时，值也趋向于负无穷大，

即当时，函数取得极大值，极大值为

，

当时，，

是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数

的图象如图：

要使（为常数）有两个不相等的实根，

则或，即若函数有两个不同零点，

实数的取值范围是．

故选C.

【点睛】

本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.

12．已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（    ）

A． B．45 C． D．

【答案】C

【解析】通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可

【详解】

解：由图中几何关系可知，,,,

，,∴，即．

则，

答案选C

【点睛】

本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键

二、填空题

13．命题“”的否定形式是____________.

【答案】

【解析】根据全称命题的否定的求解原则，直接得出结论.

【详解】

由题可知命题“”的否定形式是“”.

故答案为：.

【点睛】

此题考查全称命题的否定的概念，属于容易题.

14．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则     ；函数在处的导数       ．

【答案】2 ；-2

【解析】；．

15．如图，在单位圆中，为等边三角形，、分别在单位圆的第一、二象限内运动，则__________.

【答案】

【解析】设,由,得到,故，得，再由展开代入即可．

【详解】

记，

∵，∴，

∴，可题可知，

∴∴，

∴.

故答案为:

【点睛】

本题考查三角形的面积,单位圆的概念,角的分拆,和差角的三角函数,数形结合思想、逻辑推理能力等,难度一般.

16．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为a，则＋的取值范围为______．

【答案】

【解析】试题分析：因为均为正,所以,当且仅当即时取.

由正弦定理可得，又因为边上的高为，则，代入上式可得.又因为,所以,.因为,则.综上可得.

【考点】1基本不等式;2三角函数求最值.

三、解答题

17．已知是递增的等差数列，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和的最小值.

【答案】（1）；（2）-225.

【解析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得.

（2）由（1）知，数列是等差数列，故直接用公式法求得，再求其最小值即可.

【详解】

（1）因为为等差数列，

则，

又，

故是方程的两根，

∵是递增的等差数列，

解得，

则的公差，

故.

（2）由（1）知，

因为，

故数列是首项为-29，公差为2的等差数列，

由公式可得，

由二次函数的单调性，

可得当时，的最小值为.

【点睛】

本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.

18．在中，内角的对边分别是，且满足．

(1)求角C；

(2)设为边的中点，的面积为，求边的最小值．

【答案】（1）；（2）3

【解析】(1)    先用正弦定理将已知等式两边都化为正，余弦角的关系，再根据对其进行化简，计算可得角C．(2)由三角形的面积可得，用余弦定理将边CD表示出来，再根据可求出CD最小值．

【详解】

(1) 由正弦定理：，又，

由题，所以.

因为，所以,

即,即,

因为，所以，则.

(2) 由，即，所以.

由,所以

当且仅当时取等

所以边的最小值为.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键．

19．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，为的中点，为等腰直角三角形，，且.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）推导出，连结，设，则，推导出,由此能证明.

（2）方法一：设与平面所成角为，点到平面的距离为,,由,求出,由此能求出与平面所成角的正弦值．

方法二:用向量法求解线面成角的正弦值, 由(1)可知面面，因为，

所以面.建立坐标系,令与平面所成角为，

可求出面的法向量为,即可求出,即与平面所成角的正弦值.

【详解】

（1）证明：因为为的中点，，所以.

连接，如图（1）所示.

设，因为四边形是菱形，为的中点，，

∴.

又为等腰直角三角形，，，所以，

则.

又因为，

所以平面.

（2）法一：如图（1），令与平面所成角为，点到平面的距离为，，由（1）可知，平面.

则，

所以.

又因为，

所以易求得，

所以，

由此可得，

所以，

则，

即与平面所成角的正弦值为.

法二：由（1）可知面面，因为，

所以面.

按图（2）方式建立坐标系，令与平面所成角为，

则，，

则，

令面的法向量为，

则，

即，

即，

令，则，，

即,

即与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,难度一般．

20．某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查.下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”.

（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？

（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.

附：

.

【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关（2）详见解析

【解析】（1）完成2×2列联表，求出,从而有的把握认为“阅读爱好”与性别有关．

（2）由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取名学生，恰为“阅读爱好”的概率为，由题意知，由此能求出的分布列和．

【详解】

（1）由题意得，列联表如下：

，

所以有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关.

（2）由频率分布直方图知，从该校学生中任意抽取1名学生恰为“阅读爱好”的概率为，

由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，4，

∴

，

，

，

，

所以的分布列

∴或.

【点睛】

本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查二次分布等基础知识,考查运算求解能力,难度一般．

21．已知函数的图象与直线相切，是的导函数，且.

（1）求；

（2）函数的图象与曲线关于轴对称，若直线与函数的图象有两个不同的交点，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）设直线与函数的图象相切的切点为，求得的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得方程组与可解得，进而得到所求的解析式；

（2）求得的解析式,，，两式相加和相减，相除可得,令，可得要证，即证，即证，可令求得二阶导数,判断单调性,即可得证．

【详解】

假设直线与函数图象的切点为，

因为，

则由题意知，

即

所以，即①，

又，所以②

由①②可得，所以

（2）由题可知，

则，即，

两式相加得，

两式相减得，

以上两式相除得，

即，

不妨设，

要证，即证，

即，

即证，

令，

那么，则，

所以在上递增，又，

所以当时，恒成立，

所以在上递增，且.

所以，

从而成立.

【点睛】

本题考查导数的运用,求切线的斜率和单调性,考查构造函数法和方程思想、化简运算能力,难度较难．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)先将和化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l的普通方程有，点，写出直线l的参数方程，代入曲线：，设交点两点的参数为，，根据韦达定理可得和，进而求得的值．

【详解】

(1) 曲线的普通方程为：

曲线的普通方程为：，即

由两圆心的距离，所以两圆相交，

所以两方程相减可得交线为，即.

所以直线的极坐标方程为.

(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为

直线的参数方程为，带入曲线得.

设两点的参数为，

所以，，所以，同号.

所以

【点睛】

本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．

23．已知x，y，z均为正数．

（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8

【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.

（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.

【详解】

（1）证明：∵x，y，z均为正数，

∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，

当且仅当x＝y＝z时取等号．

又∵0＜xy＜1，∴，

∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）∵＝，即．

∵，

，

，

当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，

∴，

∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，

∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．

【点睛】

本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．