2023北京延庆高一（上）期末数学（教师版）

2023北京延庆高一（上）期末

数    学

本试卷共4页，150分，考试时长120分钟．

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

2. 当时，在同一坐标系中，函数与图象是（    ）．

A. B. C. D.

3. 下列函数中，在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 设且,则“”是“”成立的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5 若，，则一定有（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 下列函数中定义域为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 从2015年到2022年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2022年该企业单位生产总值能耗降低了30％．如果这7年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知，，，，则的最小值是（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 函数的定义域为___________．

12. 函数的图象是由函数的图象向___________平移___________个单位得到的．

13. ______.

14. 某单位共有20人，他们的年龄分布如下表所示．

则这20人年龄的众数是___________，75％分位数是___________．

15. 已知函数，则关于的不等式的解集为________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 已知非空集合，不等式的解集为．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

17. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：

（1）甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；

（2）甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；

（3）甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．

18. 某校从小明所在高一年级的600名学生中，随机抽取了50名学生，对他们家庭中一年的月均用水量（单位：吨）进行调查，并将月均用水量分为6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求出图中实数的值，并根据样本数据，估计小明所在的高一年级的600名同学家庭中，月均用水量不低于11吨的约有多少户；

（2）在月均用水量不低于11吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率．

19 已知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）若，求的取值范围；

（3）当时，求的值域．

20 已知函数．

（1）当时，求的反函数；

（2）若时的最小值是，求解析式．

21. 已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．

（1）判断是否正确？并说明理由；

（2）证明：．

参考答案

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】根据根式的运算求得正确答案.

【详解】.

故选：C

2. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.

【详解】解：因为，函数为指数函数，为对数函数，

故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，

故选：B.

3. 【答案】C

【解析】

【分析】由具体函数的单调性对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，在上是增函数，故A不正确；

对于B，在上是增函数，故B不正确；

对于C，在上是减函数，故C正确；

对于D，在上是增函数，故D不正确.

故选：C.

4. 【答案】A

【解析】

【详解】易知当时，成立，又当时，，所以“”是“”成立的充分而不必要条件.故选A.

5. 【答案】C

【解析】

【分析】利用特例法，判断选项即可.

【详解】解：不妨令，
则，∴A、B不正确；
，∴D不正确，C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题.

6. 【答案】C

【解析】

【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.

【详解】，定义域为，故A错误；

，定义域为，故B错误；

，定义域为，故C正确；

，定义域为，故D错误，

故选：C.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】设2015年该企业单位生产总值能耗为，根据题意列出2022年该企业单位生产总值能耗得到方程即可.

【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，

则到2022年该企业单位生产总值能耗为，

由题设可得，即，

故选：D.

8. 【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解即可.

【详解】因为，，.

故.

故选：A.

9. 【答案】B

【解析】

【分析】首先得到函数为单调减函数，再得到，则根据零点存在定理可知零点所在区间为.

【详解】易得函数为减函数，

，

，

，，根据幂函数单调性可知，

，，

可得，则函数包含零点的区间是，

故选：B

10. 【答案】B

【解析】

【分析】先求得的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.

【详解】已知，，，，

，

由于在上单调递增，

所以，即，

由基本不等式得，

所以，当且仅当时等号成立.

故选：B

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】由对数函数的定义域即可得出答案.

【详解】函数的定义域为:，

解得：.

故答案为：

12. 【答案】    ①. 右    ②. 3

【解析】

【分析】根据函数图象的平移变换即可得出答案.

【详解】函数的图象是由函数的图象向右平移3个单位得到的.

故答案为：右；3.

13. 【答案】

【解析】

【分析】

利用指数幂和对数的运算性质求解即可.

【详解】

故答案为：

14. 【答案】    ①. 32    ②. 36

【解析】

【分析】由众数与百分位数的概念求解，

【详解】由题意得20人年龄的众数是32，

而，故75％分位数是年龄由低到高第15和第16人的平均数，为36，

故答案为：32；36

15. 【答案】

【解析】

【分析】构造函数为R上单调递增的奇函数，再利用其性质将原不等式转化求解即可.

【详解】令，

则，

故为奇函数，

则原不等式变形为等价于.

因为是R上的增函数，所以是R上的减函数，

所以在R上单调递增，

所以，

解得.

故答案为：.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）代入值，得到集合，解出集合，根据交集的含义即可得到答案；

（2）根据结合数轴列出不等式组解出即可.

【小问1详解】

当时,.由解得.

所以.

所以.

【小问2详解】

因为,

所以由，解得，所以.

所以实数的取值范围.

17. 【答案】（1）0.21；   

（2）0.44；    （3）0.94.

【解析】

【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；

（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；

（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.

【小问1详解】

设事件：甲投篮命中;

事件：乙投篮命中;

事件：丙投篮命中.

甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率

.

所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.

【小问2详解】

设事件:恰有两人命中.

所以

所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.

小问3详解】

设事件:至少有一人命中.

所以

所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.

18. 【答案】（1），84户   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图表求出在的频率为0.1，则，从而求出不低于11吨的频率为，再乘以600名同学即可得到相应户数；

（2）首先求出样本数据有5户在相应区间内，再用列举法列出所有情况以及满足题意的情况数，则可求出概率.

【小问1详解】

因为各组的频率之和为1,

所以月均用水量在区间的频率为

所以图中实数.

由图可知,样本数据中月均用水量不低于11吨的频率为

所以小明所在学校600名同学家庭中,月均用水量不低于11吨的约有

（户）

【小问2详解】

设事件:这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组

由图可知,样本数据中月均用水量在的户数为.

记这五名同学家庭分别为,,,, .

月均用水量在的户数为.

记这两名同学家庭分别为,.

则选取的同学家庭的所有可能结果为:

共21种.

事件的可能结果为:

，共10种.

所以.

所以这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率为.

19. 【答案】（1）奇函数    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇偶性的定义判断，

（2）由对数函数性质解不等式，

（3）由对数函数性质求解，

【小问1详解】

由得，故的定义域为，

而，故为奇函数，

【小问2详解】

由，

得，解得，故原不等式的解集为

【小问3详解】

当时，，

故的值域为

20. 【答案】（1）没有反函数；   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入值，解出，即或，则其不是单调函数，故没有反函数；

（2）令,则原函数可化为，，转化为轴动区间定问题，分，和讨论即可.

【小问1详解】

当时,.

所以，

所以，

所以或，

此时是两个对着同一个,因此不是单调函数，

因此,没有反函数；

【小问2详解】

令,则原函数可化为.

因为,

所以,即.

因为二次函数的对称轴为,

①当,即时,有最小值.

②当,即时,有最小值.

③当,即时,有最小值.

综上的最小值的解析式为

21. 【答案】（1）不正确，理由见解析；    （2）见解析.

【解析】

【分析】（1）通过举反例即可判断；

（2）若,则，分且,或且,或且三种情况讨论，若,则，此时，综上即可证明.

【小问1详解】

不正确.

例如:.

当时,因为,所以.

因为,所以.

因为,所以.

而此时,

所以对任意不正确.

【小问2详解】

①若,则.

此时有,且,或且,或且三种情况

当且时,,此时.

当且时,,此时.

当且时,,此时.

因此成立.

②若,则.

此时,且,则.

此时.

因此成立.

综合①②可知,成立.

【点睛】关键点睛：本题第一问举出反例即可，对于第二问关键是理解集合新定义问题的核心，即其内涵，找到分类讨论的标准，即分两大类和讨论，其中第一类还要注意分且,或且,或且三种情况去讨论，这样才能做到不重复，不遗漏.