2021届江西省上饶市横峰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2021届江西省上饶市横峰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则A∩B=（    ）

A．(–1，+∞) B．(–∞，2)

C．(–1，2) D．

【答案】C

【解析】根据交集的定义，即可容易求得结果.

【详解】

因为，，

故可得.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集的运算，属简单题.

2．命题“对任意的，”的否定是

A．不存在， B．存在，

C．存在， D．对任意的，

【答案】C

【解析】【详解】

注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．

“对任意的，”的否定是:存在，

选C.

3．“”是“”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．

解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A．

4．若函数为偶函数，则a=（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.

点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.

6．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 (　　)．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，

故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，

由当时，y=1>0，

当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.

由此可排除选项A和选项C.

故正确的选项为D.

故选D.

7．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】代入函数式，由对数的定义求解．

【详解】

由题意，，．

故选：B．

【点睛】

本题考查已知对数函数值求自变量的值，利用对数的定义可求解．

8．已知的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将函数看作复合函数：外层函数为，内层函数为，而定义域为，即可求复合函数的定义域

【详解】

函数的定义域为

故函数有意义，只需即可

解得

故选：B

【点睛】

本题考查了复合函数的定义域，利用复合函数的外层函数的定义域是内层函数的值域求定义域范围

9．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】求导得,求出切线的斜率，从而得到切线的倾斜角.

【详解】

求导得

在点处的切线斜率.

所以切线的倾斜角为.

故选：C

【点睛】

本题考查导数的几何意义.属于基础题.

10．下列函数中，与函数有相同定义域的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求得的定义域以及各个选项函数的定义域，由此确定正确选项.

【详解】

函数的定义域为.

A选项，的定义域为.

B选项，的定义域为.

C选项，的定义域为.

D选项，的定义域为.

所以A选项符合.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.

11．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.

【详解】

由指数函数的图象与性质，可得，

由对数函数的图象与性质，可得，可得，

又由，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

12．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.

【详解】

因为满足，所以，

所以函数是以8为周期的周期函数，

则.

由是定义在上的奇函数，

且满足，得.

因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，

所以在区间上是增函数，

所以，即.

【点睛】

在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

二、填空题

13．已知集合，，若则实数的值为________

【答案】1

【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．

点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．

（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．

14．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【解析】先求，再根据奇函数求

【详解】

，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．若函数的单调递增区间是，则=________.

【答案】

【解析】由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得．

16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．

【答案】.

【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.

详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

三、解答题

17．计算下列各式的值．

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；

（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】

（1）；

（2）.

【点睛】

本题主要考查指数幂的运算与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

18．已知集合,集合.

（1）当时,求；

（2）若,求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时,,根据并集定义,即可求得;

（2）因为,分别讨论和两种情况,即可求得实数的取值范围.

【详解】

（1）当时,

又,则

（2）因为,

当时,,解得

当时,,解得

综上所述,实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当时,分别讨论和两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

19．已知命题；命题.

（1）若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；

（2）当时，已知是假命题，是真命题，求x的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）根据命题p是命题q的充分条件，即p集合包含于q集合，然后根据集合的关系求解即可;

（2）根据是假命题，是真命题，分别求出满足条件的x的取值范围，然后取交集即可.

【详解】

（1）由题知命题p是命题q的充分条件，

即p集合包含于q集合，

有；

（2）当时，有命题，命题，

因为是假命题，即，

因为是真命题，即，

综上，满足条件的x的取值范围为或

【点睛】

本题考查了命题与集合的关系，根据命题真假求参数范围，属于基础题.

20．已知函数是定义在上的增函数，且满足，.

（1）求；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）3 （2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，直接通过f（8）=f（4）+f（2），f（4）=f（2）+f（2）求解f（8）；（Ⅱ）利用已知条件转化不等式f（x）+f（x-2）＞3为不等式组，即可求解不等式的解集

试题解析：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）="3"

（2）原不等式可化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f（8x-16）

∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数

∴

解得：

【考点】抽象函数及其应用，函数的单调性的应用

21．已知幂函数为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义求出的解析式；

若函数在上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数的取值范围．

解析：（1）由 或

又为偶函数，则：此时：.

（2）在上不是单调函数，则的对称轴满足

即：.

22．设函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若当时恒成立，求的取值范围．

【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].

【解析】(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)<0，f′(x)>0

可求的单调区间；

(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.

【详解】

(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加

(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，

综上可得a的取值范围为(－∞，]．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.