专题06 正弦定理、余弦定理及其应用——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题6 正弦定理、余弦定理及其应用

（一）正弦定理

1.正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有

(为的外接圆的半径)

2.正弦定理的变形公式：

①，，；

②，，；

③；

3.三角形面积公式：

其中 最为常用

4.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．

(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：

(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：

（二）余弦定理

1.余弦定理文字表述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

2.余弦定理公式：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

3.推论：，，

4.余弦定理和勾股定理：

在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则

a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；

a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角_；

a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角

（三）测距、测角中的常用术语

1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．

2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述．

3.仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．

4.视角

观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角．

5.坡角、坡比

(1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α．

(2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的．

（四）实际测量中的常见问题

题型一  利用正、余弦定理解三角形

【典例1】（2023·高一单元测试）在中，角的对边分别为，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【典例2】（2023年河北省普通高中学业水平合格性考试）在中，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【典例3】（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）在中，、、分别是内角、、的对边，，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【典例4】（广东省燕博园2023届高三下学期综合能力数学试题）已知中，内角的对边分别为，且，，．

(1)求；

(2)若与在同一个平面内，且，求的最大值．

【总结提升】

1.正弦定理问题：

(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.

2.余弦定理问题：

(1)已知三边，求各角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

3.常见解题策略：

(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在中，已知，则 ，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．

(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．

(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．

(4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理．

题型二  利用正、余弦定理判定三角形的形状

【典例5】（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

【典例6】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________

【典例7】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）在中，角所对的边长分别为．

(1)若，求的面积；

(2)是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【规律方法】

1.判定三角形形状的方法：

（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a＝2Rsin A，等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔ A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或 A＋B＝等．

（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边之 间的关系进行判断．

（3）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．

2.特别提醒：

(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论；

(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或2A＝π－2B⇒A＝B或A＋B＝．

题型三  三角形的面积问题

【典例8】（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，则的面积为__________.

【典例9】（2023·福建莆田·统考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且．

(1)证明：；

(2)若，求的面积．

【典例10】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.

(1)求角的大小；

(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.

【规律方法】

（1）对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

（3）三角形面积的范围问题，往往转化成三角函数式，利用三角函数的性质或将面积用边表示，应用基本不等式，亦或利用二次函数、“对勾函数”等函数的性质.

题型四  三角形的周长问题

【典例11】（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知，且，则不正确的是（    ）

A． B．

C．的周长为4c D．的面积为

【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.

(1)求；

(2)求的周长.

【典例13】（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)求角C和边c的大小.

(2)求周长的范围.

【规律方法】

三角形周长范围问题，往往转化成三角函数式，利用三角函数的性质或将面积用边表示，应用基本不等式，亦或利用二次函数、“对勾函数”等函数的性质.

题型五  解三角形应用举例

【典例14】（2023·全国·高一专题练习）为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为（   ）

A．100m B． C． D．200m

【典例15】【多选题】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（    ）

A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向

B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm

C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm

D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km

【典例16】（2023·全国·高一专题练习）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α．

【规律方法】

1.距离问题的常见类型及解法：

(1)类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．

(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及到多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其它三角形从而求解.

2.高度问题的关注点与易错提醒：

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．

3.角度问题

首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．

提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角

一、单选题

1．（2023·全国·高一专题练习）在中，，，则一定是（　　）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

2．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，且，则是（    ）.

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

3.（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上，两点间的距离为5海里.某时刻货船在海洋观测站的南偏东的方向上，此时两点间的距离为8海里，该时刻货船与灯塔间的距离为（    ）

A．3海里 B．4海里 C．6海里 D．7海里

4．（2020春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知的三边分别为，，，且，则是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

5．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m

6.（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，则外接圆半径为10

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则

三、填空题

8．（2023秋·陕西商洛·高二统考期末）在中，内角的对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为_______.

9．（2023·高一单元测试）为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.如果海警船直接从海岛出发到海岛，则航行的路程为__________海里.

10．（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝_____，塔高为_____________米．

四、解答题

11．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在非钝角中，角所对的边分别为.

(1)求；

(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.

①；②.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

12.（江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题）在中，内角所对的边分别为.已知，.

(1)求的值；

(2)求的值.

13．（2023·全国·高一专题练习）地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B．试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．

14．（2023·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的大小；

(2)若，，求c的长．

15．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

16．（2023·高一单元测试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求B的大小；

(2)若，

①求的取值范围；

②求的最大值．