专题04 二倍角的三角函数——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

专题4 二倍角的三角函数

（一）二倍角的正弦

S2α：sin2α＝2sinαcosα

（二）二倍角的余弦

C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

（三）二倍角的正切

T2α：tan2α＝；

公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式

（四）二倍角公式的逆用、变形

1.逆用形式：

2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；

＝tan2α．

2.变形用形式：

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；

1＋cos2α＝2cos2α；

1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；

sin2α＝．

题型一  公式的正用

【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知，，则cos2α＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．

【详解】由题意可得：，整理得，即

∴

故选：C．

【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求的值.

【答案】

【分析】由正弦的二倍角公式及诱导公式化简即可得到结果.

【详解】

【规律方法】

由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．

题型二  公式的逆用

【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.

【详解】解：，

，

，

因为在上单调递增，

所以，

所以.

故选：C

【典例5】【多选题】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）下列化简正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.

【详解】A选项，，即，

化简得：，A正确；

B选项，，B错误；

C选项，，C正确；

D选项，，D错误.

故选：AC

【典例6】（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算：

(1)求值；

(2)已知，，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；

（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值.

【详解】（1）解：原式

.

（2）解：原式，

即，

因为，则，所以，，则，

因此，.

【规律方法】

当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.

题型三  公式的变用

【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.

【详解】

故选：D.

【典例8】（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证：

．

【答案】证明见解析.

【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边.

【详解】证明：因.

则，

.

故左边

右边.

【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】第（1）问中，利用二倍角公式即可求出，从而求得.

第（2）问中，利用降幂公式及和差化积的正弦公式，即可求解.

【详解】（1）因为，，且，

得，，，，，

从而．

（2）．

【规律方法】

公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝．

题型四  三角函数式化简问题

【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：____.

【答案】

【分析】对原式通分，然后借助于辅助角公式以及二倍角公式化简计算，即可求出结果.

【详解】解：原式=

故答案为：

【典例11】（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）化简：__．

【答案】

【分析】利用倍角公式与同角三角函数关系式即可求解.

【详解】依题意，

．

故答案为：.

【典例12】（2023·高一课时练习）化简并求值．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.

（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.

（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.

【详解】（1）

.

（2）

.

（3）

.

【规律方法】

1.三角公式化简求值的策略

(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

题型五  三角恒等式证明问题

【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：；

【答案】证明见解析

【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可化简证明.

【详解】证明：

，

故成立.

【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：

【答案】证明见解析

【分析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论.

【详解】由

，得证.

【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：；

（2）求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果；

（2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明.

【详解】（1）

．

（2）证明：

左边

右边．

所以．

【总结提升】

三角恒等式的证明方法

(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．

(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．

(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．

提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．

一、单选题

1．（2023·江苏·高一专题练习）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把已知等式平方化简即得解.

【详解】两边平方得

故选：

2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.

【详解】由已知，化简得．

平方得，

所以．

故选：A．

3．（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知为任意角，若满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将看成一个整体，化简，即可根据正切的二倍角公式求出．

【详解】由，

可得

.

故选：B.

4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若，则（    ）

A．0 B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合倍角公式、三角函数在对应象限的符号、辅助角公式化简即可.

【详解】，.

故选：D

5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】设，则，故，故，则

故选：D

6．（2022春·江苏南京·高一南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解.

【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得

.

故选：C.

7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知，且，则（    ）

A． B．12 C． D．

【答案】D

【分析】将两边平方，可求出，结合，可得，利用求出，利用平方差公式求出，从而可求出.

【详解】因为，所以，所以，

所以，

因为，所以，

又，所以，所以，

所以，

所以，

所以.

故选：D

8.（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出.

【详解】因为，

所以，

整理得：，

，

，

因为，

所以，

所以，

解得：

故选：D.

二、多选题

9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．

【解答过程】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.另外可由解出，舍去增解.

故选：AD.

10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知，以下选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据正弦和余弦的二倍角公式，以及，逐个选项进行化简，然后判断，即可得答案.

【详解】根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误；

又因为，所以，，故B正确；

，故C正确；

，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）___________.

【答案】

【分析】利用倍角公式及辅助角公式变形计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若，则_____．

【答案】

【分析】由二倍角公式，平方关系变形可得．

【详解】，则，所以，，

．

故答案为：．

四、解答题

13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；

(2)利用弦化切的方法求解.

【详解】（1）因为，

所以解得或，

因为，所以.

（2）.

14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知，求的值；

（2）已知，，则．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据题设条件利用倍角公式整理得，再根据齐次式问题化简求值；

（2）先根据运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式化简求解.

【详解】（1）∵，则，即，

∴．

（2）∵，则，

整理得，

所以，

又∵，则，且，

则，即，

∴，

故．

15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，其中，且．

(1)求和的值；

(2)若，且，求角的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由得，化简可求，结合万能公式可求；

（2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解.

【详解】（1）因为，所以，即；

；

（2）由（1）得，，

，

因为，，所以，

因为，所以，，

所以，

所以.

16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量，，．

(1)若时，求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求出，进行弦化切，代入求解；

（2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解．

(1)

（1）时，，

因为，

所以，，

．

(2)

因为，所以，

所以，，所以，所以，

所以.

所以，

．

所以

．