【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题15 二元一次方程（组）应用（九大类型）（原卷版+解析版）

专题15 二元一次方程（组）应用（九大类型）

题型一：鸡兔同笼问题

题型二：牛羊值金问题

题型三：几何问题

题型四：球赛积分问题

题型五：盈不足问题

题型六：经济问题

题型七：里程碑上的数字问题

题型八：年龄问题

题型九：方案问题

【考点1：鸡兔同笼问题】

1．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：设笼中有鸡x只，兔y只，

根据题意得：，

故选：A

2．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：设笼中有鸡x只，兔y只，

根据题意得：，

故选：A．

3．小明同学仿照我国古代经典的“鸡兔同笼”问题给小石同学出了一道题目：“今有鸡兔同笼，上有十二头，下有四十足，问鸡兔各几何？”．若小石同学设笼中有鸡x只，兔y只，则根据题意可列方程组为 　       　．

【答案】

【解答】解：根据题意可列方程组为：．

故答案为：．

【考点2：牛羊值金问题】

4．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5头牛和2只羊共值10两金子，2头牛和5只羊共值8两金子，那么每头牛，每只羊各值多少两金子？设1头牛值x两金子，1只羊值y两金子，那么，符合题意的方程组是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：设1头牛值x两金子，1只羊值y两金子，

由题意可得，，

故选：B．

5．《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5只牛、2只羊，共价值10两．2只牛、5只羊，共价值8两．那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为x，y，则可列方程组为（　　）

A．             B． 

C．        D．

【答案】C

【解答】解：∵5只牛、2只羊，共价值10两，

∴5x+2y＝10；

∵2只牛、5只羊，共价值8两，

∴2x+5y＝8．

∴可列方程组为．

故选：C．

6．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 　             　．

【答案】

【解答】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，

由题意可得，，

故答案为：．

【考点3：几何问题】

7．如图，10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：根据图示可得：．

故选：A．

8．如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：设∠BAE和∠BAD的度数分别为x°和y°，

依题意可列方程组：．

故选：B．

9．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，

，

故选：B．

10．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，则下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：，

故选：A．

11．如图，把六个形状、大小完全相同的小矩形放入大矩形中，则下列方程组正确的是（单位：cm）（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：如图：小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：，

故选：A．

【考点4：球赛积分问题】

12．（2022秋•郊区校级期末）足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个足球队踢了14场比赛．负了5场，共得19分，那么这个队胜了的场数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解答】解：设这个队胜了的场数是x，则平的场数是（14﹣5﹣x），

根据题意得：3x+1×（14﹣5﹣x）＝19，

解得x＝5，

∴这个队胜了的场数是5，

故选：C．

13．（2022秋•市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（　　）

A．16道 B．17道 C．18道 D．19道

【答案】D

【解答】解：设小明做对的题为x道，做错的题为y道，

根据题意得：，

解得：，

即他做对的题为19道，

故选：D．

14．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：根据题意得：，

即，

故选：A．

15．某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：依题意得：．

故选：C．

【考点5：盈不足问题】

16．（2022秋•禅城区校级期末）一个学习小组共有x个学生，分为y个小组．若每组5人，则余下3人；若每组6人，则有一组少3人，则可得方程组（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解答】解：由题意得：，

整理可得，

故选：D．

17.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：由题意可得，，

故选：C．

18．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y个人，根据题意，列方程组是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：根据题意得：

．

故选：B．

19．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：依题意得：．

故选：C．

【考点6：经济问题】

20．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（　　）

A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元

【答案】B

【解答】解：设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得

，

解得：x＝2500，y＝3750．

则3750×0.9﹣2500＝875（元）．

故选：B．

21．春节期间，某品牌服装店按标价打折销售，张某去该店买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共计230元，付款后，店主发现两件衣服的标价牌恰好挂反了，又找给了张某20元，设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元，根据题意可列方程组为 　            　．

【答案】

【解答】解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元，

∴当店主发现两件衣服的标价牌恰好挂反了，又找给了张某20元时，

可得：0.6x+0.5y＝210；

顾客按照标价牌挂反了时，购买第一件打6折，第二件打5折，共记230元，

得方程0.6y+0.5x＝230；

由此可得方程组，

故答案为：．

22．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元．本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．若设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意可列出方程组　   　．

【答案】

【解答】解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，

根据题意可列出方程组

故答案为：．

23．2005年某省荔枝总产量为50000吨，销售收入为61000万元．已知“妃子笑”品种售价为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨．如果设“妃子笑”荔枝产量为x吨，其它品种荔枝产量为y吨，那么可列出方程组为　              　．

【答案】

【解答】解：根据荔枝总产量为50000吨，则x+y＝50000；

根据销售收入为61000万元，则1.5x+0.8y＝61000．

列方程组为．

【考点7：里程碑上的数字问题】

24．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（　　）

A．    B． 

C．   D．

【答案】A

【解答】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，

根据题意得：．

故选：A．

25．如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的值分别为（　　）

A．m＝4，n＝4 B．m＝8，n＝4 C．m＝4，n＝12 D．m＝12，n＝4

【答案】C

【解答】解：由图可得，

，

解得，

故选：C．

26．一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（　　）

A．26 B．62 C．71 D．53

【答案】B

【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：

，

解得：，

则这个两位数为6×10+2＝62．

故选：B

27．有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数．

【解答】解：设原来的两位数中，个位上的数为x，十位上的数为y．

依题意有，

解得．

答：原来的两位数是28．

【考点8：年龄问题】

28.一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底

是　  　岁．

【答案】70

【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，

依题意得：，

解得：．

故答案为：70．

29.今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是　　岁．

【答案】18

【解答】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，

依题意，得：，

解得：．

故答案为：18．

30．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”求弟弟和哥哥的年龄．设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是　            　．

【答案】

【解答】解：设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意得：，

故答案为：．

【考点9：方案问题】

31．（2022春•前进区期末）小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本（两种文具都买），钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买（　　）

A．1支 B．1支或2支或3支 

C．2支 D．2支或3支

【答案】B

【解答】解：设买x支钢笔，y本笔记本，

依题意得：3x+y＝11，

∴y＝11﹣3x．

又∵x，y均为正整数，

∴或或，

∴钢笔能买1支或2支或3支．

故选：B．

32．（2022•前进区三模）为了加大“精准扶贫”力度，某市准备将10名干部分成2人一组或3人一组，到村屯带领贫困户脱贫，在所有干部都参加且每人只能参加一个小组的前提下，分组方案有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【答案】B

【解答】解：设可以分成2人组x组，3人组y组，

依题意得：2x+3y＝10，

∴x＝5﹣y，

又∵x，y均为自然数，

∴或，

∴共有2种分组方案．

故选：B．

33．（2023•沭阳县模拟）小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，则小明有 　　种购买方案．

【答案】3

【解答】解：设购买x个A型口罩，y个B型口罩，

依题意得：6x+4y＝40，

∴y＝10﹣x．

又∵x，y均为正整数，

∴或或，

∴小明有3种购买方案．

故答案为：3．

34．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，问该校的购买方案共有多少种？

【解答】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，

依题意得：15x+10y＝180，

∴x＝12﹣y．

又∵x，y均为正整数，

∴或或或或

35．在上海新冠疫情防控期间，从仓储中心向市区转运居民必需物资，已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨，1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某仓储中心现有45吨物资，计划租用A型车a辆B型车b辆（一种或两种车型均可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．

（1）求1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，

依题意得：，

解得：．

答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨．

（2）依题意得：4a+5b＝45，

∴b＝9﹣a，

又∵a，b均为自然数，

∴或或，

∴共有3种租车方案，

方案1：租用9辆B型车，所需租车费为150×9＝1350（元）；

方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需租车费为110×5+150×5＝1300（元）；

方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需租车费为110×10+150×1＝1250（元）．

∵1350＞1300＞1250，

∴最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．

36．商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]

（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？

【解答】解：（1）设购进A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，

依题意得：，

解得：．

答：购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；

（2）设可以购进m套A品牌的教学设备，n套B品牌的教学设备，

依题意得：1.5m+1.2n＝30，

∴m＝20﹣n．

又∵m，n均为正整数，

∴或或或，

∴共有4种进货方案，

方案1：购进16套A品牌的教学设备，5套B品牌的教学设备；

方案2：购进12套A品牌的教学设备，10套B品牌的教学设备；

方案3：购进8套A品牌的教学设备，15套B品牌的教学设备；

方案4：购进4套A品牌的教学设备，20套B品牌的教学设备．