【期末满分攻略】2022-2023学年人教版七年级数学下册讲学案-专题11 平行线中翻折求角度问题高分突破（原卷版+解析版）

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 专题11
平行线中翻折求角度问题高分突破
真题再现


1．（2022春•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（　　）

A．75° B．76° C．77° D．78°
【答案】B
【解答】解：延长AB，FH交于点P，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠P＝∠PFC，
由题意得：
GE∥FH，
∴∠GEB＝∠P，
∴∠GEB＝∠PFC＝28°，
∴∠DFH＝180°﹣∠PFC＝152°，
由折叠得：
∠DFE＝∠EFH＝∠DFH＝76°，
故选：B．

2．（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（　　）

A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝2∠2，
即180°﹣2∠1＝2∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
3．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（　　）

A．45° B．36° C．72° D．18°
【答案】B
【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，
∵x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠MFE＝72°＝∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE＝72°，
又∵NE∥MF，
∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故选：B．
4．（2020春•长岭县期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（　　）

A．80° B．100° C．90° D．95°
【答案】D
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°；
故选：D．
5．（2016秋•新区期中）如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E为AD中点，将点D绕着CE翻折到点D’处，连接BE，记∠AED’＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（　　）

A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【答案】B
【解答】解：∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠ECD，
∵将点D绕着CE翻折到点D′处，
∴∠ECD＝∠D′CE，∠D′EC＝∠DEC，
∵∠AED′＝α，∠ABE＝β，
∴∠ECD＝β，
∴∠DEC＝∠D′EC＝90°﹣β，
∴∠DED′＝180°﹣2β，
∵∠AED′＝180°﹣（180°﹣2β）＝α，
∴α＝2β．
故选：B．

6．（2022春•武隆区校级期中）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝　 　度．

【答案】75
【解答】解：∵A'D∥BC
∴∠CBA′＝∠A′．
∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，
∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．
∵∠A＝∠ABD，
∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A＝100°．
∴∠A＝25°．
∴∠ABC＝75°．
故答案为：75．
7．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝32°，则∠2＝　 　．

【答案】106°
【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF，
∵∠1＝32°，
∴∠DEF＝∠GEF＝74°，
∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝32°+74°＝106°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠2＝106°，
故答案为：106°．
8．（2022秋•新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　 　度．

【答案】155
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．

9．（2022春•浦北县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A'处，若∠B＝40°，则∠BDA'的大小是 　 　．

【答案】100°
【解答】解：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝40°．
△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，
∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．
由角的和差，得
∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE
＝180°﹣40°﹣40°
＝100°．
故答案为：100°．
10．（2022春•荣县校级期中）如图，将长方形纸片ABCD进行翻折，图中EF为折痕．如果∠1＝25°，∠2的度数为 　 　．

【答案】65°
【解答】解：如图：延长MH交BC于点G，

∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
由折叠得：∠B＝∠FHM＝90°，
∵∠FHM是△FHG的一个外角，
∴∠HGF＝∠FHM﹣∠1＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠HGF＝65°，
故答案为：65°．

11．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝　 　°


【答案】80
【解答】解：∵A′D∥BC，
∴∠A′＝∠CBE，
由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，
∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，
∴∠BC'E+∠DBE＝105°，
∴∠C+∠DBE＝105°，
∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，
∴∠C+4∠DBE＝180°，
∴∠C＝80°，
故答案为：80°．
12．（2022春•逊克县期末）如图，将CD翻折至CB位置，已知AB∥CD，∠CBE＝80°，则∠1的度数是 　 　．

【答案】50°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBE＝100°，
∵将CD翻折至CB位置，
∴∠1＝∠BCD＝×100°＝50°，
故答案为：50°．
13．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝α，按图进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是 　 　．

【答案】2α﹣180°
【解答】解：∵MD∥NG∥BC，
∴∠M＝∠MEF，∠N＝∠NFE，
∵ME∥FG，
∴∠MEF＝∠GFC，
由翻折可知，
∠ABC＝∠M，∠GFC＝∠NFG，∠N＝∠C，
∵∠NFE+∠GFC+∠NFG＝180°，∠ABC+∠ACB＝α，
∴∠NFE＝2α﹣180°．
故答案为：2α﹣180°．
14．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为　 　°．

【答案】95
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
故答案为：95．
15．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，AD＞AB．E，F分别是AD，BC上不在中点的任意两点，连接EF，将长方形ABCD沿EF翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE的度数为　 　度．

【答案】135或45
【解答】解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE＝135°


如图2中，满足条件的∠BFE＝45°，

综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．
故答案为135°或45°．
16．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝　 　．

【答案】30°
【解答】解：如图，连接AN，
由折叠可得，EF垂直平分AB，
∴NA＝NB，
由折叠可得，AB＝NB，∠ABG＝∠NBG，
∴AB＝BN＝AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABG＝∠ABN＝30°，
故答案为：30°．

17． （2017秋•湖州期中）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝a，则①DC′平分∠BDE；②BC长为（+1）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．则上述命题中正确的
是 　 　（填序号）

【答案】③④
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠C＝45°，
∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，
∴∠DBE＝∠ABC＝22.5°，DE＝AD＝a，∠DEB＝90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，DC＝a，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，
∴∠C′DE＝∠CDE＝45°，∠DC′E＝45°，
∴∠BDC′＝∠DC′E﹣∠DBE＝22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；
∵AC＝AD+DC＝a+a，
∴BC＝AC＝（a+a）＝（+2）a，所以②错误；
∵∠DBC＝∠BDC′＝22.5°，
∴△B C′D是等腰三角形，所以③正确；
∵△CED的周长＝DE+EC+DC＝a+a+a＝（+2）a，
∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确．
故答案为③④．
18．（2021春•达州期末）如图，长方形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB＝　 　．

【答案】50°
【解答】解：∵AD∥BC，∠BFE＝65°，
∴∠BFE＝∠FED＝65°．
由翻折的性质可知：∠BEF＝∠DEF＝65°．
∴∠AEB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
20．（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处．

（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．
（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置，

∴∠EMN＝∠BMN＝70°，
∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；
（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：
如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，

∴∠PMN＝∠PMQ＝α，
∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，
∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．
21．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．
（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；
（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；
（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．


【解答】解：（1）∠DCE＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CH∥PQ，

∵PQ∥MN，
∴PQ∥CH∥MN，
∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH，
∴∠DCE＝∠DCH+∠ECH＝∠1+∠2；
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDQ＝∠PDC＝60°；
（3）∠GEN＝2∠BDQ，理由如下：
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDQ＝90°﹣x，
∴＝＝2．
即∠GEN＝2∠BDQ．
22．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．

（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝　45°　．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；
（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．
【解答】解：（1）①如图2，

∵∠1＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
由折叠得：∠2＝∠3，
∴∠2＝∠3＝45°，
故答案为：45°；
②∠2＝2∠1，理由如下：
如图3：延长FN交ME于H，

由折叠得：∠1＝∠GMN，
∵MG∥FN，ND∥ME，
∴∠GMN＝∠MNH，∠2＝∠NHE，
∴∠1＝∠MNH，
∴∠2＝∠NHE＝∠1+∠MNH＝2∠1；
（2）∠2+∠3＝90°，理由如下：
如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，

∵PN∥CD，
∴∠2＝∠6，∠3＝∠7，
∵∠1＝90°，
∴∠4+∠PMC+∠5+∠NMD＝90°，
∵纸片的上下平行，
∴∠4+∠PMC＝∠6，∠5+∠NMD＝∠7，
∴∠6+∠7＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
23．（春•汉阳区期中）如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

【解答】解：（1）∠BAE+∠CDE＝∠AED．
理由如下：
作EF∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，
∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，
∴∠BAF＝∠BAE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠AFD＝（∠BAE+∠CDE），
∵∠BAE+∠CDE＝∠AED，
∴∠AFD＝∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，
而射线DC沿DE翻折交AF于点G，
∴∠CDG＝4∠CDF，
∴∠AGD＝∠BAF+4∠CDF＝∠BAE+2∠CDE＝∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）＝2∠AED﹣∠BAE，
∵90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，
∴90°﹣2∠AED+∠BAE＝180°﹣2∠AED，
∴∠BAE＝60°．