2022-2023学年福建省宁德市高一（上）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年福建省宁德市高一（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列集合与区间表示的集合相等的是(    )

A.  B.
C.  D. ，

2.  以下命题是真命题的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知点在第二象限，则角的终边在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  已知，，则“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

5.  若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数是定义在上的偶函数，则的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知函数，若正实数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，则面积的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列各式的值为的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数，则(    )

A. 最小正周期为 B. 图象关于直线轴对称
C. 在上单调递减 D. 图象关于点中心对称

11.  已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则(    )

A.
B.
C.
D. 函数与函数图象有个交点

12.  几位同学在研究函数时，得出了下列四个结论，其中正确的是(    )

A. 的值域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象无限接近直线但又不与该直线相交
D. ，，均有

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数且过定点        ．

14.  若扇形圆心角为，扇形面积为，则扇形半径为        ．

15.  设，，，则，，的大小关系是        ．

16.  若，则的值域为        ，关于的方程恰有个不同的解，，，，则的取值范围为        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，求实数的取值范围．

18.  本小题分
已知．
化简；
已知，且求的值．

19.  本小题分
已知函数且．
判断函数的奇偶性，并证明；
若求实数的取值范围．

20.  本小题分
如图，函数的图象经过，，三点．
求函数的解析式；
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，得到图象若，求函数的单调增区间．

21.  本小题分
某公司近五年的年利润单位：千万元列表如下：

为了描述从第年开始年利润随年份的变化关系，现有以下三种模型供选择：
，，以上各式均有，
请你从这三个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型并简要说明理由，再利用表格中第年和第年的数据对剩下的两种模型进行建模，求出这两种模型下第五年的公司利润，并说明哪个模型更好；
利用中较好的模型，预计该公司第几年的年利润会超过亿元？
参考数据，

22.  本小题分
已知函数，其中为常数．
若对，恒成立，求实数的取值范围；
若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：区间表示的集合为，
对于，集合表示点集，只有一个元素，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，表示数集，其中只有个元素，故C错误；
对于，，，故D错误．
故选：．
根据区间表示的集合，再结合选项，即可判断．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的表示方法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，当时，，A错误；
选项，当时，，当时，，当时，，
故，，B错误；
选项，，由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，故，，C正确，D错误．
故选：．
选项，举出反例；
选项，分，与三种情况，得到，B正确；
选项，由基本不等式求出，故C正确，D错误．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
由题意利用三角函数在各个象限中的符号，判断角的终边所在的象限．
【解答】
解：已知点在第二象限，
，，
则角的终边在第三象限，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，涉及不等式的性质，属于基础题．
根据题意，由不等式的性质分析可得若“”，则有“”，反之不一定成立，由充分必要的定义分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，若“”，必有，则有“”，故“”是“”的充分条件，
反之，若“”，则有，此时不一定成立，即“”不一定成立，则“”是“”的不必要条件，
故“”是“”的充分非必要条件，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：由，
得，
则．
法二：由
得
故选：．
法一：原式分子分母除以，即可求出，再利用两角和的正切公式，即可求得结果．
法二：由已知结合同角商的关系及两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，，因为函数是偶函数，
所以，则，则，
所以，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
所以不等式的解集为．
故选：．
首先根据函数是偶函数，求，然后再分段求不等式的解集．
本题主要考查了函数的奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：定义域为，，
为定义在上的奇函数，
与均为上的增函数，
在上单调递增；
由得：，
，即，又，，
当且仅当，时取等号，
即的最小值为．
故选：．
利用奇偶性定义和单调性的性质可确定的奇偶性和单调性，从而化简已知等式得到，由，利用基本不等式可求得结果．
本题主要考查了函数的单调性及及基本不等式在最值求解中应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则，
，，
，，，
在中，由正弦定理得：，
，
，
，
当，即时，取得最大值．
故选：．
设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，故A正确；
，故B正确；
 ，故C错误；
 ，故D正确．
故选：．
根据对数运算和三角函数关系式，化简求值．
本题主要考查对数的运算性质，以及三角函数的关系式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，所以函数的最小正周期，故A错误；
B.，故B正确；
C.当时，，在，函数单调递减，在，函数单调递增，故C错误；
D.，故D正确．
故选：．
首先根据二倍角公式得，再利用整体代入的方法，判断函数的性质．
本题主要考查了二倍角公式，余弦函数的周期性，对称性，单调性的判断，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，故A正确；
B.因为函数的图象关于直线对称，所以，函数又是奇函数，所以，
即，令，得，故B错误；
C.由以上证明可知，令，得，
所以函数的周期，，故C正确；
D.当时，，根据函数关于原点对称，以及函数关于对称，函数的周期为，画出函数的图象，函数的最大值为，当，所以由图象可知，函数与函数图象有个交点，故D正确．
故选：．
根据抽象函数的性质判断；判断函数的周期性，再判断；根据函数的性质，画出函数的图象，再根据函数的图象判断交点个数．
本题主要考查了函数的对称性及周期性的综合应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：选项：，，选项A错；
选项：，的图象关于点对称，选项B对；
选项：当时，，，所以图象以轴为渐近线，又因为图象关于点中心对称，所以直线也为图象的渐近线，选项C对；
选项：，
，当且仅当时取等号，
时，，
，选项D对．
故选：．
A.先求的范围，再求函数的值域；根据对称性的公式和性质，即可判断；根据不等式，时，，再结合基本不等式，即可判断选项．
本题主要考查了函数的值域，考查了函数的对称性，以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为且过定点，
令得：，故，
故过定点坐标．
故答案为：．
由且所过定点，求出答案．
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意可知，圆心角的弧度数为，设扇形半径为，
则，解得．
故答案为：．
先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为在上单调递增，故，
所以，
而，，
故．
故答案为：．
根据对数函数单调性得到，再得到，，比较出大小．
本题主要考查对数大小的比较，属于基础题．
 

16.【答案】，  

【解析】解：当时，当时，
的值域为，
画出的图象，如下：

故当时，恰有个不同的解，
不妨设，
由可得：，
，，
，，
当且仅当，时取等号，
，故两个不等式等号均取不到，
，
．
故答案为：；．
先根据函数单调性得到的值域，画出的图像，不妨设，列出方程，求出，，由基本不等式求出和的取值范围，进而求出答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为或，所以．
又因为，所以，
则；
因为，所以．
因为且
所以或，
即实数的取值范围为或． 

【解析】解一元二次不等式得集合，再根据集合的补集与交集运算即可；
由已知确定集合间的关系为，又可得，列不等式即可求得实数的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：
因为，
所以，
又因为，所以，
所以即，
所以． 

【解析】由诱导公式即商数关系化简即可；
由已知角的范围，结合特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了三角函数定义，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：令得，故函数的定义域为，
对于，，
，且，
是奇函数；
由，可化为，
若，则，
，
若，则，
，
，
综上，的取值范围是． 

【解析】先求函数定义域，再结合进行判断；
将代入，再对对数函数的底数进行分类讨论求解即可．
本题主要考查了函数奇偶性的定义及单调性和奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由图可得函数的最小正周期，
，
又函数过点，且图象在该点附近单调递增，
，即，
又，，
过点，
，即，
；
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的得到．
，
令，得：，，
的单调增区间为，． 

【解析】求出函数的最小正周期，进而得到，带入特殊点坐标，得到，求出函数解析式；
求出，，整体法求出的单调增区间．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移变换，正弦型函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：去掉模型，理由：函数模型是减函数，而所给数据表明函数是增函数．
若用模型，则，，
；
若用模型，则，，
，
当时，利用模型得，
利用模型得，
，，，
模型更好；
利用模型得：，
两边取对数得，
，
预计第年该公司的利润会超过亿元． 

【解析】函数模型是减函数，而所给数据表明函数是增函数，排除模型；利用表格中第年和第年的数据求出用模型和模型的方程，当时，求出模型和模型中的年利润与表中数据对比即可得出答案．
利用模型得：，解指数不等式即可得出答案．
本题考查函数的实际应用，函数建模，不等式思想，化归转化思想，属中档题．
 

22.【答案】解：，恒成立，
即对恒成立，
因为在上单调递增，
所以，
今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，
所以，
所以，即实数的取值范围是．
解法一：令，则方程即，
设，是方程的两根，
则方程在内有且只有三个实数解等价于且；
或且；或且，
今，对称轴为，且，
当且时，，解得；
当且时，，解得；
当且时，与相矛盾，不合题意；
综上，实数的取值范围为
解法二：令，则方程即，
设，是方程的两根，令．
若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解，
则方程在有两个实数解；
若，则，，
当时，有一个实数解，有一个实数解，
则方程在有两个实数解，不合题意；
此外，要使方程在有三个实数解，只需，，
则，解得；
综上，实数的取值范围为 

【解析】参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式求出和的最值，得到实数的取值范围；
解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或且，分三种情况数形结合得到实数的取值范围；
解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围．
本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的零点问题，复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程的根的个数，在解决此类问题时，分两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使其等式成立，第二层是结合第一层的值，求出对应的的值，求出零点的个数，属于中档题．