2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期中数学试卷（A卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知函数，则时，的值趋近于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是(    )

A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合

4.  函数的导函数的图象如图所示，则(    )

 

A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点 D. 是函数的最小值

5.  如图，在平行六面体中，，，，，为中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若函数在上是增函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知的三个顶点分别为，，，则边上的高等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数有两个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是(    )

A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 在方向上的投影向量是
D. 平面的一个法向量是

11.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 在单调递减 B. 在单调递增
C. 有一个极大值是 D. 有一个极大值是

12.  如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点在底面内运动包括边界，则下列说法正确的有(    )

A. 存在点，使得
B. 过三点、、的正方体的截面面积为
C. 四面体的内切球的表面积为
D. 点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  曲线在点处的切线的倾斜角是．

14.  与共线且满足的向量______．

15.  如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为______ ．

16.  设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，，且．
求的值；
若与互相垂直，求实数的值．

18.  本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数在的最大值与最小值．

19.  本小题分
在正四棱柱中，，，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本万元与成正比其中台表示产量，并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量台的函数关系为万元其中记当年销售该产品台获得的利润利润销售收入生产成本为万元．
参考数据：，，
求函数的解析式；
当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？

21.  本小题分
如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，．
证明：平面平面；
若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上满足，求二面角的余弦值．

22.  本小题分
已知函数，；
求函数的单调性；
设函数，对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得
．
故选：．
根据导数定义可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，则．
因为向量，，
所以，解得，
所以．
故选：．
由题意，根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：记平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，故，
所以，
所以平面和平面的位置关系是垂直．
故选：．
利用数量积的运算可证得法向量相互垂直，由此可得出答案．
本题主要考查了平面的法向量，考查了空间向量的数量积的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以在和处取得极小值，在处取得极大值，
所以ACD错误，B正确，
故选：．
根据导函数的图象，判断出导数的正负，从而可得函数的单调区间，可判断函数的极值，进而可得答案．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，两边平方得：

．
所以．
故选：．
根据题意可得，平方求模长，即可求解．
本题考查空间中两点间距离的求解，向量法的应用，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数，，
若在递增，则在恒成立，
可得，解得，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围．
本题考查导数的综合应用，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故，
故，
所以边上的高．
故选：．
由已知利用向量夹角公式先求出，进而可求，然后结合向量可求．
本题主要考查了空间向量在距离求解中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
若函数有两个零点，
此时有两根，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
又，
作出函数图象：

易知当时，函数有两个零点．
故选：．
由题意，将问题转化成有两根，此时，，构造函数，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、数形结合、转化思想和运算能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，故A不正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C不正确；
对于，
，故D正确．
故选：．
根据求导公式以及复合函数的求导法则，可得答案．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，商的导数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；
：与同向的单位向量是，正确；
：由，
则在方向上的投影向量是：
，正确；
：若是面的一个法向量，则，令，
则，正确．
故选：．
：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；：与同向的单位向量是，即可判断；：由投影向量的定义可解；：应用平面法向量的求法求平面的一个法向量，即可判断．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，
对于：当时，，故，即在单调递减，故A正确；
对于：当时，，
故在并非一直，即在并非单调递增，故B错误；
令，此时单调递减，
则当或时，，此时单调递增，
故当和 时，分别取极大值和极小值，
，
对于：当时，，故C正确；
对于：当时，，故D正确．
故选：．
由题意得，利用导数，结合三角函数的性质可得单调性，由单调性即可判断极值，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为，又与共面，若，则，显然矛盾；
对于，由题意可得过三点、、的正方体的截面是一个腰为，上底为，下底为的等腰梯形，易得其高为，面积为，B正确；
对于，四面体是一个棱长都为的正四面体，易得其高为，其内切球半径为，内切球表面积为，C正确；
对于，以点为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，设，，，
令，可得，即，由于，所以点轨迹不是一个完整的圆，D错误．
故选：．
分析每个几何体的形状，根据题意进行假设和计算即可．
本题主要考查内切球半径求法和点的轨迹，掌握常见的几何体的性质是解决本题的关键，属中档题．
 

13.【答案】解：，时，，
切线斜率为，又倾斜角范围是，
所以切线倾斜角为．
故答案为：． 

【解析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，
与共线，
可设，
．
．
．
故答案为：．
本题可根据与共线设，然后根据向量间的运算得出的值，即可得到的坐标．
本题主要考查共线向量的概念，以及向量的运算．本题属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，
，，
所以，
即与所成的角的余弦值为．
故答案为：．
建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解．
本题考查了异面直线所成的角的计算问题，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则，
，即，
，即在上单调递减，
又，则，
，即，
，
，解得，
故的取值范围为
故答案为：
由题意构造函数，结合题意可得在上单调递减，题意转化为，可得，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
所以，解得：；
当时，，
，
因为与互相垂直，所以，
解得：． 

【解析】由向量的模长公式求解即可；
求出，，由垂直向量的坐标表示求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
，
又，切点为，
切线方程为：即．
因为．
所以在区间，上，单调递增；
在区间上，单调递减．
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，，，
所以，在区间上的最大值为，最小值为． 

【解析】根据导数的几何意义，求出斜率，利用点斜式求出切线方程即可；
根据导数判断单调性，求出极值，进而求出函数在的最大值与最小值即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在正四棱柱中，，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而，，平面，
所以平面；
由得，为平面的一个法向量，
．
直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答；
利用空间向量求出线面角的正弦值作答．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：依题设：，
当生产台该农机产品时，需要流动成本万元得：
，可得：，；
，
化简得到．
由得，
，
，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，取得极大值也是最大值，
，
当年产量为台时，利润最大，最大利润是万元． 

【解析】依题设：，由条件当生产台该农机产品时，需要流动成本万元可得，进而求出函数的表达式；
求导，利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出最值即可．
本题主要考查根据实际情况选择合适的函数模型，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，
根据余弦定理可知，
在中，，
根据勾股定理可知，，即，
，，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
为中点，，，
由可知，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，，
所以，，两两垂直．
以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，
设且，则，
显然平面的一个法向量为，
可得，，解得，
，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
故，
所以二面角的余弦值为，． 

【解析】根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；
若为中点，证得，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查二面角的求法，属于中档题．
 

22.【答案】解：根据题意可得，
，
当时，即时，在上单调递减，
当时，即时，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由题意可得，
因为对于任意的，总有成立，不妨设，
由，得，
设，
则在上单调递增，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，
，
令得或，
所以在上，在上，
又因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，
所以的取值范围为． 

【解析】根据题意可得，求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．
由题意可得，对于任意的，总有成立，不妨设，由，得，设，求导分析单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．